Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

 
М и с о л :  Ушбу тенгламани ечинг : 
                             
3
)
1
(
1
2





х
у
х
у
 
 
Ечими.   Умумий ечимни  у=u

v  куринишда кидирамиз. 
у=u

v      ва   
v
u
v
u
у





   хосиланинг ифодаларини дастлабки тенгламага куйсак, у  
                        
3
)
1
(
1
2








x
v
u
x
v
u
v
u
   , 
                        
3
)
1
(
)
1
2
(







x
v
x
v
u
v
u
                                   (Ж) 
 
куринишга келади. 
      v ни  аниклаш учун 
 
                            
0
1
2




v
x
v
 
 
тенгламани ечамиз : 
 
                       






1
2
1
2
x
dx
v
dv
  
   ,
x
dx
v
dv
 

                        
2
)
1
(
1
ln
2
ln




x
v
 
   ,
x
v
  
 
Берилган  
v
 функциянинг кийматини (Ж) тенгламага куйиб  u  функцияни аниклаймиз: 
 
                       
1
)
1
(
)
1
(
3
2







x
u
  
  ,
x
x
u
 
                      









C
x
u
   
   ,
dx
x
du
    
    ,
dx
x
du
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
 
 
Энди дастлабки тенгламанинг умумий ечимини ёзишимиз мумкин : 
 
                      










С
х
х
у
2
)
1
(
)
1
(
2
2
  . 
 
 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.Оддий дифференциал тенгламага  таъриф беринг. 
2.Умумий ва хусусий ечимлар нима? 
3.Узгарувчилари  ажраладиган  дифференциал  тенгламаларни  таърифланг  ва  умумий  ечимини 
аниклаш тартибини келтиринг. 
4.Чизикли биринчи тартибли дифференциал тенгламаларни таърифланг ва умумий ечимни аниклаш 
тартибини келтиринг. 
 
 
 
 
26 -  М А Ъ Р У З А 
 
БИР ЖИНСЛИ ВА ТУЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЛИ 
ТЕНГЛАМАЛАР.  ЮКОРИ ТАРТИБЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 
ТЕНГЛАМАЛАР. 
у
(n)
=f (x)  КУРИНИШДАГИ ТЕНГЛАМАЛАР. 
 
Таянч    иборалар  :
    Биржинсли  тенглама,тула  дифференциалли  тенглама,  биржинсли 
функция. 
 
а)  Биржинсли дифференциал тенгламалар. 
 
ТАЪРИФ:   Агар 

 нинг хар кандай кийматида 
                            f (

x,

у)  = 

n
 f (x , у) 
айният  тугри  булса,    f  (x  ,  у)  функция    x    ва      у    узгарувчиларга  нисбатан    n    улчовли  биржинсли 
функция деб аталади. 
 
М и с о л :         f (x , у) = x
4
 – у
4
, 
                     f (

x,

у)  = (

х)
4
 -(

у)
4
 =

4
 (х
4
 -у
4
) 
 
Демак , берилган функция  4 улчовли биржинсли функция экан. 

 
ТАЪРИФ:     Агар биринчи тартибли 
                                         у

= f (x , у)                                              
тенгламада  f  (x  ,  у)  функция    x  ва  у  га  нисбатан  ноль  улчовли  бир  жинсли  функция  булса,  бундай 
тенглама бир жинсли биринчи тартибли тенглама дейилади. Уни, яна  
                                           у

= f (1, 
х
у
) 
куринишда  ёзиш  мумкин.  Бундан  умумий  ечимни   
х
у
=t(x)  куринишда  излаш  мумкинлиги    келиб 
чикади. 
 
Дархакикат    у=t

x  ;          у

=t+xt

    эканлиги  учун  дастлабки  бир  жинсли  биринчи  тартибли 
тенглама 
                                      t+xt

= f (1,t) 
куринишга  келади.  Бу  ерда  узгарувчиларни  ажратиб  ва  келиб  чиккан 
тенгликнинг иккала томонини интеграллаб t(x) функцияни аниклаймиз: 
                                   

dx
dt
x
 f (1,t)-t 
         
,
)
,
1
(
x
dx
t
t
f
dt


                           




.
)
,
1
(
x
dx
t
t
f
dt
 
Охирги  тенгликдан  t(x)  ни  топиб  у=t

x  га  куйсак  изланган  умумий 
ечимни топган буламиз.  
 
М и с о л :Тенгламани ечинг:  
                                 у

 = 
х
у
х

 
Ечими.         f (x , у)= 
х
у
х

,           f (

x,

у)= 
х
у
х




= 
х
у
х

 . 
 
Берилган тенглама бир жинсли экан. Умумий ечимни 
                                 у=t

x, у

 = t+xt

 
куринишда кидирамиз: 
             t+xt

 =
,
x
tx
х

               xt

 =1+ t-t  ,             
,
1
x
dx
dt

 
              
,
x
dx
dt

                    



,
x
dx
dt
                  t=ln

x 

+C, 
              y=t

x=( ln

x 

+C)

x. 
 
 
б) Тула дифференциалли тенгламалар
. 
 
ТАЪРИФ:   Агар 
                      M(x,y)dx+N(x,y)dy=0                                      (L) 
тенгламада M(x,y) ва N(x,y) функциялар узлуксиз, дифференциалланувчи булиб, улар учун 

                         
x
N
y
M





                                                        (M) 
мунособат  бажарилса,  (L)  тенглама  тула  дифференциал  тенглама  дейилади.  Агар  (L)тенгламанинг 
чап  томони  тула  дифференциал  булса,  у  холда  (M)  шартнинг  бажарилишини ва аксинча, (M) шарт 
бажарилса,  (L)тенгламанинг  чап  томони  бирор  u(x,y)  функциянинг  тула  дифференциали  булишини 
исботлаймиз,яъни (L) тенгламани куриниши 
                         d u(x,y)=0 
булади, демак, унинг умумий интеграли u(x,y)=с. 
 
Дастлаб, (L)тенгламанинг чап томонини бирор u(x,y) функциянинг тула дифференциали деб 
фараз киламиз, яъни 
                 M(x,y)dx+N(x,y)dy=
,
dy
y
u
dx
x
u





                          (N) 
 
 
 
бу холда 
                           M=
,
x
u


                    N=
.
y
u


 
Биринчи  мунособатни у буйича , иккинчи мунособатни эса х буйича дифференциаллаб 
                           
х
у
u
x
N
у
x
u
у
M












2
2
      
,
     
 
тенгликларни хосил киламиз. 
Иккинчи тартибли хосилалар узлуксиз деб фараз килсак, 
                                           
x
N
у
М





 
булади.  (М) тенгликнинг тугрилиги исботланди. 
(N) тенгламадан 
                                        
)
,
( у
x
M
x
u



 
эканлиги келиб чикади. Бундан 
                                
)
(
)
,
(
0
у
dx
у
x
M
u
x
x




 
муносабатни  топамиз,  бу  ерда    х
0
    ечим  мавжуд  булган  сохадаги  ихтиёрий  нуктанинг  абсциссаси,  

(у)  эса аникланиши керак булган функция. 
Охирги  тенгликнинг  иккала  томонини    у    буйича  дифференциаллаймиз    ва  натижани    N(x,у)    га  
тенглаймиз: 
                             
)
,
(
)
(
0
у
x
N
x
dx
у
М
у
u
х
х









   , 
аммо  
x
N
у
М





  булганлиги учун 
            
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
0
0
у
x
N
у
у
x
N
      
        ,
N
у
dx
x
N
х
х
x
x









   , 
              
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
0
0
у
x
N
у
  
  ,
у
x
N
у
у
x
N
у
x
N






                

                                   
dу
у
x
N
у
у
у
)
,
(
)
(
0
0



 
Шундай килиб, тула дифференциалли тенгламанинг умумий ечими 
                            
С
dу
у
x
N
dx
у
х
М
у
у
х
х




)
,
(
)
,
(
0
0
0
 
булар экан. 
 
 
в) Юкори тартибли дифференциал тенгламалар. 
 
n – тартибли дифференциал тенглама  берилган булсин : 
                               
)
,...
,
,
,
(
)
1
(
)
(




n
n
у
у
у
у
x
f
у
  .                          (К) 
ТАЪРИФ:      n  –  тартибли  дифференциал  тенгламанинг  умумий  ечими  деб    n    та    с
1
  ,  с
2
  ,…,с
n
  
ихтиёрий узгармас микдорга боглик булган  ва (К) тенгламага каноатлантирадиган 
                                          у =

(х, с
1
 , с
2
 ,…,с
n
)   
функцияга айтилади. 
Умумий  ечимдан  с
1
  ,  с
2
  ,…,с
n
    узгармас  микдорларнинг  тайин  кийматларида  хосил  буладиган  хар 
кандай функция хусусий ечим деб аталади. 
г)  у
(n)
 = f (x)  куринишдаги тенгламалар. 
 
Энг содда  n  - тартибли тенглама 
                                  у
(n)
 = f (x) 
куринишдаги  тенглама  булади.  Унинг  хар  иккала  тмонини    n    марта  интеграллаб  умумий  ечимини 
куйидаги куринишда оламиз: 
           
n
n
n
х
х
х
х
С
C
n
x
x
C
n
x
x
dx
dx
x
f
у













...
)!
2
(
)
(
)!
1
(
)
(
....
)
(
...
2
2
0
1
1
0
0
0
 
 
М и с о л :  Ушбу 
                                        
x
у
sin


 
тенгламанинг умумий ечимини топинг. 
Ечими.               
1
1
0
1
cos
sin
C
x
C
dx
у
х








 
             
.
sin
  
,
  
)
1
(
2
1
2
1
0
0
c
xc
x
e
c
dx
c
dx
сosx
у
х
х











 
 
 
С а в о л л а р : 
1.Биржинсли  биринчи  тартибли  тенгламаларни  таърифланг.  Уларнинг  умумий  ечимлари  кандай 
аникланади. 
2.Тула  дифференциал  тенгламаларни  таърифланг.  Уларнинг 
умумий ечимлари   кандай аникланади. 
3.Юкори тартибли дифференциал тенгламаларни таърифланг.
 
4.y
(n)
=f (x) куринишдаги тенгламаларнинг умумий ечимини келтиринг. 
 

27  -   М А Ъ Р У З А 
 
ТАРТИБИ ПАСАЮВЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР . 
 
Таянч  иборалар:
  Тартиби  пасаювчи  тенгламалар,  умумий  интеграл,  занжир  чизик 
тенгламаси. 
 
а) Ушбу  
                                      у

=f (x,y

 ) 
куринишдаги тенглама номаълум у функцияни ошкор холда уз ичига олмайди. 
Умумий ечимни топиш учун 
                                     у

 = р (x) 
белги киритамиз. Бу холда 
                                    у

= р

 
булади. 
у

 ва у

 ларни дастлабки тенгламага куйиб х нинг номаълум р функцияга нисбатан биринчи тартибли 
                                            р

= f (x,,р) 
тенгламани хосил киламиз. Бу тенгламани интеграллаб, унинг 
                                            р=р(x,С
1
) 
умумий ечимни топамиз, ундан кейин у

=р мунособатдан                                      
                                         у=


2
1
)
,
(
C
dx
C
x
p
  
умумий ечимни топамиз. 
М и с о л : Занжир чизикнинг 
                           у

 =
у
а


1
1
 
дифференциал тенгламасини караймиз. 
                                                у

 = р 
деб оламиз, у холда  
                                                у

 =р

 
демак, х нинг ёрдамчи P функциясига нисбатан биринчи тартибли  
                                           р

 =
у
а


1
1
 
дифференциал тенглама хосил  булади. 
Узгарувчиларини ажратсак,     
                                     
,
1
2
a
dx
P
dP


   
                           
1
2
)
1
ln(
C
a
x
P
P




 
                                    
1
C
a
x
sh
P


 
Аммо  у

  =  р  булгани  учун  ,  кейинги  мунособат  изланаётган  у  функцияга  нисбатан  дифференциал 
тенгламани ифодалайди. Уни интегралласак, занжир чизикнинг тенгламаси хосил булади: 
                                      у= 
2
1
c
 
C
x
C
a
x
h
a


 
Ушбу  
               у

х=0
=а,                   у

 

х=0
=0 
бошлангич шартларни каноатлантирувчи хусусий ечимни топамиз. Биринчи шарт С
2
=0 ва  биринчи 
шарт С
1
=0 ни беради. 
Натижада 

                                у= а
)
(
a
x
сh
 
ифодани хосил киламиз. 
И з о х : Шундай усул билан 
                               

)
(n
у
f (x,y
(n-1)
) 
тенгламани хам интеграллаш мумкин. 
y
(n-1)
= р деб олиб р ни аниклаш учун 
                                   р= f (x,,р) 
тенгламани хосил киламиз. 
Бундан p ни х нинг функцияси каби аниклаб, y
(n-1)
= р мунособатдан у ни топамиз.  
б) х эркла узгарувчини ошкор холда уз ичига олмаган 
                                   у

=f (y ; y

 ) 
 куринишдаги тенгламани караймиз. Бу тенгламани ечиш учун яна 
                                 у

=p(у) 
деб оламиз. Аммо энди p ни   у  нинг функцияси деб хисоблаймиз. Бу холда 
                             у

=
.
p
p
dx
dy
dy
dp




 
у

 ва  у

 хосилаларнинг ифодаларини 
                                      у

= f (y ; y

 ) 
тенгламага  куйиб, ёрдамчи p функцияга нисбатан биринчи тартибли  
                                     pp

 = f (y,p) 
тенгламани  хосил  киламиз.  Бунда  р  ни  у  ва  ихтиёрий  С
1
  узгармас  микдорнинг  функцияси  каби 
аниклаймиз: 
 
                                     p=p(у,С
1
)  
 
 
 
Бу кийматни    
                                    у

=p 
мунособатга куйсак, х нинг у функцияси учун 
                                   у

=p(у,С
1
) 
дифференциал тенглама хосил булади.   Узгарувчиларни ажратиб, 
                                    
dx
C
y
p
dy

)
,
(
1
 
тенгламани хосил киламиз. 
Охирги тенгламани интеграллаб, дастлабки тенгламанинг 
                                   Ф(х,у,С
1
,С
2
)=0 
умумий интегрални топамиз. 
 
М и с о л : Ушбу  
                                         3у

=
3
5

у
 
тенгламанинг умумий интегралини топинг. 
 
Ечими.  p ни у нинг функцияси эканини билган холда у

=p деб  оламиз. Бу холда у

=p

p булади ва 
биз ёрдамчи p функция учун биринчи тартибли тенглама хосил киламиз: 
                                         3pp

=
3
5

у
 
Бу  тенгламани интеграллаймиз:  

                 p
2
=С
1
--
3
2

у
,                p=

3
2
1


у
С
 
Аммо у

=p , демак, у  ни аниклаш учун 
               
dx
у
С
dу




3
2
1
        ,        
dx
у
С
dу
у



1
3
2
1
3
1
 
 
тенгламани хосил киламиз, бундан 
                               





1
3
2
1
3
1
2
у
С
dу
у
С
х
 
 
 
 
кейинги интегрални хисоблаш учун 
                                         
2
3
2
1
1 t
у
С


 
алмаштириш бажарамиз. Бу холда 
 
                      
dt
C
t
t
dу
       
     ,
C
t
у
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
3
1
1
)
1
(
3
1
)
1
(






 
 
Демак 
                    















t
t
С
dt
t
t
t
С
у
С
dу
у
3
3
)
1
(
3
1
1
3
2
1
2
2
1
3
2
1
2
1
 
                         
)
2
(
1
1
3
2
1
3
2
1
2
1




у
С
у
C
C
  . 
Охирги натижа 
                         
)
2
(
1
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2






у
С
у
С
С
С
х
 
эканини топамиз.