Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

 
 
7– М А Ъ Р У З А 
ТРИГОНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛАР КАТНАШГАН БАЪЗИ ИФОДАЛАРНИ 
ИНТЕГРАЛЛАШ. 
Таянч иборалар: 
 Универсал алмаштириш, рационал функция. 
  
а)  Универсал алмаштириш. 
Ушбу 

dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
 
 
интеграл 
берилган 
булсин. 
Бу 
интеграл                                         
t
x
tg

2
    алмаштириш  ёрдами  билан  хаммавакт  рационал  функциянинг  интегралига 

келтирилиши мумкинлигини курсатамиз. sinx   ва  cosx   функцияларни 
2
x
tg
 билан, яъни  
t  билан ифодалаймиз: 
                 
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
1
2
cos
2
sin
2
sin
t
t
x
tg
x
tg
x
x
x
x
x
x
x









 
                
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
1
2
sin
2
cos
cos
t
t
x
x
x
x
x
x
x








 
Сунгра,       
2
t
1
2dt
dx
  
  ,
arctgt
x



2
 
Демак ,        












2
2
2
1
2
1
1
2
)
cos
(sin,
t
dt
t
t
-
1
 
 ,
t
t
R
dx
x
R
2
 
М и с о л :    Интегрални  хисобланг : 
                                              

x
dx
sin
 
Ечими:   Юкорида ёзилган формулаларга асосан : 
                       











C
x
tg
C
t
t
dt
t
t
t
dt
x
dx
2
ln
ln
1
2
1
2
sin
2
2
2
 
б)  Аникмас  интеграл 
                                

xdx
x
R
cos
)
(sin
 
куринишда булсин.  У холда   
                              
dt
cosxdx
  
   ,
x
x


sin
    
бажариб куйидагини хосил киламиз. 
                              



dt
t
R
xdx
x
R
)
(
cos
)
(sin
 
М и с о л :    Интегрални  хисобланг : 

  .                              

dx
x cos
sin
5
 
Ечими:  
















C
t
C
t
dt
t
dt
хdx
t
x
dx
x
6
sin
6
cos
sin
cos
sin
6
6
5
5
 
в)  Агар интеграл    
                                   

xdx
x
R
sin
)
(cos
 
куринишда берилган булса, у холда 
                                 
dt
-
 
 
   sinxdx
   ,
t
x


cos
 
алмаштириш максадга мувофикдир : 
                                





dt
t
R
xdx
x
R
)
(
sin
)
(cos
 
М и с о л :   Интегрални  хисобланг : 
                                          

dx
x
x
4
cos
sin
 
Ечими:   






















C
x
C
t
dt
t
t
dt
dt
dx
t
x
x
xdx
3
3
4
4
4
cos
3
1
3
1
sin
cos
cos
sin
 
г) Агар интеграл остидаги функция факат  tgx  га боглик булса, у холда tgx=t , х=аrctgx , 
 
t
dt
dx
2
1


  алмаштириш  ёрдамида  бу  интеграл  рационал  функциянинг  интегралига 
келтирилади: 
                                





2
1
)
(
)
(
t
dt
t
R
dx
tgx
R
 
М и с о л :    Интегрални  хисобланг : 
                                            

tgxdx
 
Ечими: 
 

tgxdx
 
= 
























 
C
t
t
t
d
t
tdt
t
dt
dx
t
tgx
2
2
2
2
2
1
2
1
1
)
1
(
2
1
1
1
 

                   
C
x
C
x
tg











2
2
cos
1
ln
2
1
1
ln
2
1
 . 
д)  Агар  интеграл  остидаги  функция    R(sinx,cosx)    куринишда  булса,  аммо  sinx,cosx  
функциялар  факат жуфт даражаларда кирса, у холда  tg=t  алмаштириш татбик этилади, 
чунки 
                                      
2
2
2
1
1
1
1
t
x
tg
x
сos




 
                                      
2
t
1
dt
dx
  
  ,
t
t
x
tg
x
tg
x






2
2
2
2
2
1
1
sin
 
М и с о л :   Интегрални  хисобланг : 
                                   


x
dx
2
sin
2
 
Ечими:         





















2
2
2
2
1
sin
sin
2
t
t
x
t
1
dt
dx
  
  ,
t
tgx
x
dx
2
 
     


























C
tgx
arctg
C
t
arctg
t
dt
t
t
t
dt
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
 
 
е)  Энди 

xdx
x
n
m
cos
sin
 куринишдаги интеграл берилган булсин. 
Бунда уч холни караймиз: 
 
1)  m  ва  n дан камида биттаси ток сон. Аниклик учун   n  ток булсин. n=2p+1  деб олиб 
интегрални алмаштирамиз : 
 
                 






xdx
cos
x
cos
x
in
s
xdx
cos
x
sin
p
m
p
m
2
1
2
 
                



















.
dt
t
t
dt
xdx
cos
t
x
sin
xdx
cos
x
sin
x
sin
p
m
p
m
2
2
1
1
 

 
Бу эса рационал функциянинг интеграли. 
2) m ва n манфий булмаган жуфт сон. m=2p, n=2q деб фараз киламиз: 
                sin
2
 
,
x
cos
х
2
2
1
2
1


              
x
cos
x
cos
2
2
1
2
1
2


                           (c)
 
Буларни интегралга куямиз: 
                 







 





 

.
dx
x
cos
x
cos
xdx
cos
x
sin
q
p
q
p
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
 
Даражаларни  кутариб,  кавсларни  очиб,  cos2x  нинг  жуфт  ва  ток  даражаларини  уз  ичига 
олган хадларни хосил киламиз, биринчи пунктда курсатилган усулдан ёки (с) формуладан 
фойдаланамиз. 
М и с о л :   Интегрални  хисобланг : 
                                         

xdx
sin
4
  
 
 
 
Ечими:  






c
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
xdx


























8
4
sin
2
sin
2
3
4
1
4
cos
1
2
1
2
sin
1
4
1
2
cos
2
cos
2
1
4
1
2
cos
1
4
1
sin
2
2
4
 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1. 

dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
  куринишдаги интегрални универсал алмаштириш усули 
оркали кандай интеграллаш мумкин ? 
2.  

xdx
x
R
cos
)
(sin
  куринишдаги интеграллар кандай интегралланади ? 
3. 

dx
tgx
R
)
(
     куринишдаги интеграллар кандай интегралланади ? 

4. 

dx
x
x
R
n
m
)
cos
,
(sin
     куринишдаги    интеграллар     кандай      
     интегралланади ?
 
 
 
                            
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8  -   М А Ъ Р У З А 
 
АНИК ИНТЕГРАЛ ТАЪРИФИГА ОЛИБ КЕЛУВЧИ                                  
МАСАЛАЛАР. АНИК ИНТЕГРАЛНИНГ ТАЪРИФИ ВА 
ХОССАЛАРИ. 
 
Таянч  иборалар:
    Эгри  чизикли  трапеция,  интеграл  йигинди,  аник  интеграл,  аник 
интегралнинг геометрик маъноси, аник интегралнинг механик  маъноси. 
                 
1.Эгри чизикли трапеция юзини хисоблаш масаласи. 
 
у=

(х)  узлуксиз    функция,  х=а,  х=b,  у=0      чизиклар  билан 
чегараланган фигурага эгри чизикли трапеция деб айтамиз.  
      
Ш
у
 
ф
и
г
у
р
а
 
ю
з
и
н
и
 хисоблаш масаласини курайлик.  
 [a; b] сегментни абциссалари 
 х
1

 
х
2
 

…

  х
i
 

 … 

х
n-1 
булган   n-1  та 
нукта  ёрдамида  булакларга  буламиз. 
Бунда а=х
о 
ва b=х
n
 деймиз. 
а       

1    
x
1  
 

2 
x
2
  x
i- 1  

i    
x
i    
b
 
A
1 
 
 
A
 
 
A
2           
A
3            
 
A
i
 
x 
y 
1 - расм 
В 

Булиш нукталари  [a; b] сегментни n та кичик сегментларга булади:  
 [х
0
;х
1
] , [х
1
;х
2
] ,… [х
i-1
;х
i
] ,…. [х
n-1
;х
n
] 
Булиниш нукталаридан ОУ укига параллел тугри чизиклар утказиб, эгри чизикли трапецияни  n 
та  кичик  эгри  чизикли  трапецияларга  ажратамиз,  (1-расм).    Равшанки  эгри  чизикли  трапеция 
АВbа нинг юзи n та кичик эгри чизикли трапециялар йигиндисига тенг. Агар АВbа нинг юзи S, 
асоси    [х
i-1
;  х
i
],  (i=1,2,3,…,n)  булган  эгри  чизикли  кичик  трапецияларнинг  юзалари 

S
i
  билан 
белгиланса, куйидагича булади:  
S=

S
1
+

S
2
+…+

S
i
+…+

S
n            
ёки         
 
S=

S
i
i
n


1
             (1) 

S
i 
ларнинг аник кийматини топиб булмайди, такрибий кийматларни аниклаш учун эса [х
i-1
; х
i
] 
сегментларнинг  хар  бирида  ихтиёрий 

i
  нуктадан  танлаб  оламиз  ва  бу  нукталарда  f(

i
) 
ординаталарини ясаймиз.1-расмдан куйидагилар куринади:  
 

S
1

 
f(

1
)(х
1
-х
0
), 

S
2

 
f(

2
)(х
2
-х
1
),…, 

S
i

 
f(

i
)(х
i
-х
i-1
) 
,…, 

S
n

                                                                      

f(

n
)(х
n
-х
n-1
)                                                                              (2) 
 
Агар  х
i
-х
i-1
=

х
i
  белгини  киритиб  (2)  ларни  (1)  га  куйсак  АВbа  эгри  чизикли  трапеция  юзининг 
такрибий кийматини топган буламиз: 
                                          
S
f
x
i
i
i
n



( )
 
1
                                                (3) 
(3) ифодага f (x) функциянинг [a; b] кесмадаги интеграл йигиндиси деб айтилади. 
                 
                          2.Узгарувчи куч бажарган иш хакидаги масала. 
 
          Механикадан маълумки, агар F куч таъсирида моддий нукта 

 масофада силжиган булса, 
бажарилган иш Е куйдагича тенг 
                                              Е= F 

 

                                 (4) 
Бу  ерда  F-куч  катталиги  билан  хам,  йуналиши  билан  хам  узгармас.Энди  F    куч  узгармас 
йуналишни  сакласа  хам,  сонли  катталиги  буйича  узгарган  холни  караймиз.  Айтайлик,  бу  куч 
таъсирида 
 моддий  нукта    кучнинг  таъсир  чизиги  йуналиши  буйлаб  йуналган  тугри  чизик  буйлаб  харакат 
килсин.F куч бажарган ишни хисоблаш масаласини караймиз. 
          Моддий нукта  харакат килаётган чизикни  ОХ уки деб кабул киламиз: 
 
 
 
 
 
Йулнинг  бошлангич    ва  охирги  нукталари  мос  равишда  а  ва  b  ,(а<b)абциссаларга  эга  булсин 
.[а;b] сегментнинг хар бир нуктасида кучнинг катталиги маълум кийматга , яъни F=f (х) функция 
абциссасига  эга  булади.Бу функцияни узлуксиз   деб хисоблаймиз. [a;  b] сегментни  n та кичик 
сегментларга буламиз.(2- расм). 
                                   
                            [х
0
; х
1
], [х
1
; х
2
], … [х
i-1
; х
i
]…  [х
n-1
; х
n
]. 
                                         (а=х
о
, b=х
n
) 
 
Уларнинг узунлиги мос равишда  
 

х
1
= х
1
-х
0
, 

х
2
= х
2
-х
1
,…, 

х
i
=х
i
-х
i-1
 ,…, 

х
n
=х
n
-х
n-1
         булади. 
 
[х
i-1
; х
i
] сегментда F кучнинг бажарган иши 

Е
i
 булсин, у холда  [а; b] кесмада    бажарилган иш 
куйидагига тенг:  
                     
Е
E
i
i
n




1
                                              (5) 
0           а       

1    
x
1  
 

2 
x
2
  x
i- 1  

i    
x
i    
b     x
 
2 - расм 


Е
i
  ларнинг  аник  кийматини  хисоблаб  булмайди.  Уларнинг  такрибий  кийматларини  хисоблаш 
учун  [х
i-1
;  х
i
]  ларнинг  хар  бирида  ихтиёрий   

i
  нукта  танлаб  оламиз  ва  шу  нукталардаги  F=f(х) 
функциянинг f(

i
) кийматларини хисоблаймиз. (4) формулага кура  
 

Е
1

 f(

1
) 

х
1
, 

Е
2

 f(

2
) 

х
2
,…, 

Е
i

 f(

i
) 

х
i
 ,…, 

Е
n

 f(

n
) 

х
n
 
 
Буларни    (5)  тенгликка  куйиб  изланаётган  ишнинг  такрибий  кийматини  интеграл  йигинди 
куринишида топамиз: 
                                            
i
i
n
i
x
f
Е





)
(
1
 
 
 
                                     3.Аник интегралнинг таърифи. 
 
y=f(x) функция [а; b] кесмада узлуксиз булсин. х
0
=х
1

 
х
2
 

…

 х
i
 

 … 

 b=х
n
 булиниш нукталари 
ёрдамида [а;b] кесмани n та кичик сегментларга ажратамиз.(1-расм).  
 
                            [х
0
; х
1
], [х
1
; х
2
], … [х
i-1
; х
i
]…  [х
n-1
; х
n
]. 
 
[х
i-1
;  х
i
],  i=1,2,3,…,n  кичик  сегментларнинг  хар  бирида  ихтиёрий 

i
  нуктани  танлаймиз.        f  (x)  
функциянинг  

i  
 нуктадаги  кийматини  мос   сегментнинг  
х
i
-х
i-1
=

х
i
 узунлигига купайтириб (3) каби интеграл йигинди тузамиз.  
                                      
S
f
x
i
i
i
n



( )
 
1
                                  (3) 
 
ТАЪРИФ:  Агар  S  интеграл йигинди  [а;  b] кесмани [х
i-1
;  х
i
] сегментларга  ажратиш  усулига  ва 
уларнинг хар бирида 

i
 нуктанинг танлашига боглик булмайдиган I лимитга эга булсак, у холда 
бу I  сон [а; b] кесмада    f(x) функциядан олинган аник интеграл дейилади.ва 
f x dx
а
в
( )

 каби 
белгиланади: 








n
i
b
a
i
i
x
dx
x
f
x
x
f
I
i
1
0
max
)
(
)
(
lim
 
 
Бу ерда а – куйи чегара, b – юкори чегара, f(x) – интеграл остидаги функция, f(x)dx – интеграл 
остидаги ифода дейилади. 
[а  ;  b]    кесмада   
dx
x
f
b
а
)
(

    интеграли  мавжуд  булган    f  (x)      функция  бу    кесмада 
интегралланувчи функция деб айтилади. 
                                               
                                              
 
                                      4.Аник интеграл хоссалари. 
 
а) 

a
a
dx
x
f
)
(
=0                    б) 



b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(
 
в) 








b
a
b
a
b
a
dx
fdx
dx
f
)
(
  
 г) a




b
a
b
c
c
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
 

д) Агар  [а; b] кесмада    f(x)

0 булса   

b
a
dx
x
f )
(

0  
е) Агар  [а; b] кесмада    f(x)

 

(x) булса   

b
a
dx
x
f )
(



b
a
dx
x)
(
 
ж)  Агар  f(x)    функция  [а;  b]  кесмада  узлуксиз  булса,  у  холда  бу  кесмада  шундай 

  нукта 
топиладики, бунда 

b
a
dx
x
f )
(
= f(

)(b-a)  булади.  
з)  f(x)

0  булганда 

b
a
dx
x
f )
(
  АВ  ва  эгри  чизикли  трапециянинг  юзига  тенг  (аник 
интегралнинг  геометрик  мазмуни),  F=f(x)  функция  узгрувчан  куч  булганда 

b
a
dx
x
f )
(
 
бажарилган иш катталигига тенг.(аник интегралнинг механик мазмуни)