Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
              1.  Аник интеграл таърифини келтиринг. 
              2.  Аник интегралнингкандай хоссалари бор. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 -  М А Ъ Р У З А 
 
НЬЮТОН –ЛЕЙБНИЦ ФОРМУЛАСИ ВА АНИК ИНТЕГРАЛНИ ХИСОБЛАШ 
УСУЛЛАРИ. 
 
Таянч иборалар: 
 Ньютон-Лейбниц формуласи, чегараси узгарувчан булган интеграл, 
булаклаб интеграллаш, узгарувчиларни алмаштириш.  
             
1.Интегралнинг узгарувчи юкори чегараси буйича хосиласи. 
у=f(х) функция [а;b] кесмада узлуксиз булсин . 

b
a
dx
x
f
)
(
 интегрални караймиз. Агар  b  юкори 
чегара узгарувчан булса, юкори чегараси узгарувчан булган интеграл хосил булади: 
                                     


x
a
dx
x
f
x
I
)
(
)
(
 
1-ТЕОРЕМА : Агар f (x) узлуксиз функция булса , 

                
)
(
)
)
(
(
)
(
x
f
dx
x
f
x
I
x
a





  -тенглик уринли булади. 
Исбот :  х аргументга ∆х ортирма берамиз. У холда аник интегралнинг хоссасига асосан 
                      












x
x
a
x
a
x
x
x
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
x
x
I
)
(
)
(
)
(
)
(
 
I(x) функциянинг ортирмасини ёзамиз: 
                     ∆I(x)=I(x+∆x)-I(x)=







x
a
x
x
x
x
a
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
)
(
)
(
)
(
 
яъни                         ∆I(x)=
dt
t
f
x
x
x



)
(
                                           (6) 
Аник интегралнинг ж) хоссасига асосан (6) интеграл 
                               





X
X
x
dt
t
f
I
)
(




f
x
x x
f
x
( )(
)
( )




 
куринишга  келади,бунда  ξ  нинг  киймати  х  билан  х+∆х  орасида  ётади.  Хосиланинг  таърифига 
асосан 
                                I

 
(х)=
)
(
)
(
)
(
lim
lim
0
0
x
f
x
x
f
x
x
X
X











  
(

х

0 интилганда 

х назарга тутилади.) 
Теорема исботланди. 
                                         
 
 
2. Ньтон – Лейбниц  теоремаси
. 
 
ТЕОРЕМА: Агар F(x) узлуксиз f (x)  функциянинг бирор бошлангич функцияси булса, у холда 
                                      


b
a
b
a
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
=F(b)-F(а) 
тенглик уринлидир. Бу тенглик  Нътон-Лейбниц формуласи дейилади. 
 
Исбот:      F(x)  функция  узлуксиз  f  (x)  функциянинг  бирор  бошлангич  функцияси  булсин.  I-
теоремага асосан 

x
a
dt
t
f )
(
 функция хам f(x)функциянинг бошлангич функцияси булади.Аммо, 
хар кандай иккита бошлангич функция бир-биридан узгармас 
С
 кушилувчи билан фарк килади: 
                                     

x
a
dt
t
f )
(
=F(x)+
С
                              (7) 
Бу тенгламада х=а  деб олсак, аник интегралнинг а) хоссасига асосан    
                                   0=F(a)+ 
С
  
булади. 
Демак, 
С
 =- F (а)  булади. 
С
  кийматини (7) га куямиз.
      

                                   

x
a
dt
t
f )
(
= F(x)-F(a) 
Энди бу тенгликда  х=b десак  Ньютон-Лейбний формуласи хосил булади. 
                                   

x
a
dt
t
f )
(
=F
)
(x
=F(в)
 
–F(а)                  (8) 
Теорема исботланди.   
Бевосита интеграллаш, дифференциал остига  киритиш  
                            у с у л л а р и .  
1-М и с о л :           



1
0
1
0
2
3
3
2
3
2
x
dx
x
 
2-М и с о л :          
,
1
1
1
1
1









n
a
b
n
x
dx
x
n
n
b
a
b
a
n
n
   n

-1 
3-М и с о л :         








e
e
e
e
e
x
x
xd
dx
x
x
1
1
2
2
2
1
2
2
1
ln
2
1
2
1
ln
ln
2
ln
ln
ln
ln
 
 
4-М и с о л :          
4
4
1
4
4
4
4
а
в
b
a
x
х
в
а
е
е
e
dx
е




 
 
5-М и с о л :         
6
2
1
arcsin
arcsin
1
2
1
0
2
2
1
0






x
x
dx
 
 
6-М и с о л :        
4
1
1
1
0
2
1
0






arctg
arctgx
x
dx
 
 
7-М и с о л :      
1
1
2
1
)
1
(
)
1
(
2
1
1
)
1
(
2
1
1
3
0
2
2
2
1
2
3
0
2
2
3
0
2
3
0

















x
x
d
x
x
x
d
x
хdx
 
 
8-М и с о л : 
1
0
cos
2
1
cos
2
1
2
cos
2
1
2
2
sin
2
1
2
sin
2
0
2
0
2
0













x
x
xd
xdx
 
 
2.Булаклаб интеграллаш усули. 
 
и  ва  v   функциялар  х нинг дифференциалланувчи функциялари  булсин. У холда              :   
                                       d(и ; v)=vdи+иdv 
Бу айниятнинг иккала томонини  а дан в гача интеграллаймиз: 

                                                





b
a
b
a
b
a
udv
vdu
v
u
d
)
,
(
      
чап  томонига  Ньютон-Лейбниц  формуласини  куллагандан  кейин 
охирги тенгликни куйидаги куринишда ёзиш мумкин: 
                                     




b
a
b
a
b
a
vdu
v
u
udv
)
,
(
                             (9) 
(9)- тенглик аник интегрални булаклаб интеграллаш формуласи дейилади. 
 
1-М и с о л :   
      




















2
0
2
0
2
0
sin
sin
sin
,
cos
,
cos
xdx
x
x
v
x
du
dx
dv
xdx
u
x
xdx
x
 
               
2
2
1
2
cos
2
2
0










x
 
2- М и с о л :  
























2
2
2
2
1
1
1
1
)
4
(
4
2
)
ln
2
(
2
,
,
ln
ln
е
e
x
e
x
dx
x
x
x
v
x
du
x
dx
dv
x
dx
u
x
dx
x
x


 
 
3-Мисол: 
 
 
-

























3
0
3
0
3
0
2
2
3
0
2
1
ln
2
1
3
3
1
,
1
,
x
x
хdx
gx
arct
x
v
x
du
x
dx
dv
dx
u
arctgx
arctgxdx
 
2
ln
3
3
4
ln
2
1
3
3






.                     
                            
                                    2 Аник интегралда узгарувчини алмаштириш. 
 
3-ТЕОРЕМА:

b
a
dx
x
f
)
(
  интегралда х= 

t

 тенглик оркали янги t узгарувчи                                                
 киритилган булсин. 
     
    Агар  1) 

=а  , 

=b,    2) 

t

    ва 

t

лар [

]   да  узлуксиз функциялар булса, 3)  f 
[

t

] функция [

] кесмада аникланган ва узлуксиз булса, у холда  
                           
 







‰
€
dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
                            (10) 
булади. 
Бу  тенглик  аник  интегралда  узгарувчиларни  алмаштириш 
формуласи деб аталади. 

 
Исбот:   F(x) функция f (x) функциянинг бошлангич функцияси булсин. 
Унда куйидаги тенгликларни ёзиш мумкин: 
 
                            
,
)
(
)
(
)
(
)
(




b
a
b
a
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
 
              


)
(
)
(
))
(
(
))
(
((
)
(
)
(
))
(
(
a
F
b
F
F
F
t
F
dt
t
t
f

















 
 
Теорема исботланди. 
 
4-М и с о л : 
               
            























t
tdt
t
tdt
dx
t
x
t
x
x
xdx
2
)
1
(
2
,
1
,
2
1
,
1
1
2
2
1
3
0
2
 
             =2 



dt
t
)
1
(
2
2
1
 
0
3
4
3
4
)
2
3
2
(
2
1
3




t
х
 
 
5-М и с о л : 
     
     
 























2
,
0
cos
1
,
cos
;
sin
1
2
2
2
1
0
t
x
tdt
dx
t
x
dx
x
 
       =
4
)
2
2
sin
(
2
1
)
2
cos
1
(
2
1
cos
2
0
2
0
2
2
0











t
t
dt
t
tdt
. 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.Нътон-Лейбниц формуласини келтириб чикаринг. 
2.Аник интегрални булаклаб булаклаб интеграллаш учун формулани келтириб чикаринг. 
3. Аник интегралда узгарувчиларни алмаштириш формуласини келтиринг. 
                                        
                             
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
10-М А Ъ Р У З А 
 
                ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАР ХАКИДА ТУШУНЧАЛАР. 
                       ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАРНИ   ХИСОБЛАШ. 
 
Таянч  иборалар:
  Хосмас  интеграл,  якинлашувчи  хосмас  интеграл,  узоклашувчи 
хосмас интеграл. 
                              
                          1.Чегараси  чексиз  хосмас  интеграллар. 
 
 ТАЪРИФ: [а;∞) интервалда узлуксиз булган функциянинг хосмас                            интеграли 
деб    
                                       
dx
x
f
b
а
b
)
(
lim



                                    (10) 
 лимитга айтилади ва 
                                      


a
dx
x
f
)
(
  
 каби белгиланади, яъни 
                                
                                        
f x dx
a
( )






в
a
b
dx
x
f
)
(
lim
. 
Агар  (10)    лимит  мавжуд  булса,  у  холда  хосмас  интеграл  якинлашувчи    дейилади,  агарда 
курсатилган лимит мавжуд булмса, хосмас интеграл узоклашувчи дейилади. 
(-∞;b],  (-∞;∞) интервалларда хосмас интеграл шунга ухшаш таърифланади. 
                                 




b
dx
x
f
)
(



b
a
a
dx
x
f
)
(
lim
    .              
           
f x dx
( )




f x dx
С
( )



f x dx
С
( )







„
a
a
dx
x
f )
(
lim
lim
( )
b
С
b
f x dx


.  
М и с о л :   
dx
x
1
2
0



      интегрални хисоблаймиз. 
 
 
 
 
 
 
 
3 - расм  
 
Ечими:        
y 
x 
0 

dx
x
1
2
0



=





в
b
x
dx
0
2
1
lim
  
 
=



в
b
arctg
0
lim
2
)
0
(
lim





arctg
arctgb
b
       
 
 
                  Каралган  интеграл  3-расм  да  штрихланган  чексиз  эгри  чизикли  трапециянинг  юзини 
ифодалайди. 
        Баъзи  бир  холларда  берилган интегралнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини билиш 
ва унинг кийматини бахолаш етарли булади. Куйидаги теоремалар исботсиз келтирилади. 
 
ТЕОРЕМА:  Агар  барча  х(х≥а)  лар  учун  0  ≤f(x)≤  φ(x)  –тенгсизликлар  бажарилса  ва     



a
dx
x)
(
    якинлашувчи  булса,  у  холда   
f x dx
a
( )


  хам  якинлашувчи  булади,  бунда 
f x dx
a
( )






a
dx
x)
(
  булади. 
М и с о л : 
dx
x
е
2
2
1
1
(
)



   интеграл якинлашувчи эканлиги текширилсин. 
Ечими:     х≥1 булганда
1
1
2
2
х
е
(
)

<
1
2
х
   
1
1
1
1
2
1
1
х
dx
x
b
b
b
b



  




lim
lim
(
)
(
!
)
      Демак, 
dx
x
е
2
2
1
1
(
)



  теоремага 
асосан якинлашувчи экан. 
 
ТЕОРЕМА: Агар барча  х(х≥а)  лар  учун  0 ≤φ(x)≤ f(x) тенгсизликлар бажарилса ва шу билан 
бирга         



a
dx
x)
(
    узоклашувчи  булса,  у  холда     
f x dx
a
( )


      интеграл  хам  узоклашувчи 
булади. 
М и с о л :                
1
3
4



х
х
dх
  текширилсин. 
Ечими :   
,
1
4
3
3
х
х
х
х
х



 
аммо  
                                 



х
dx
1
  
2)
-
b
х
b
b
b







2
(
lim
2
lim
1
 
Теоремага асосан берилган интеграл узоклашувчи булади. 

ТЕОРЕМА:  Агар 


a
dx
x
f
)
(
  интеграл  якинлашувчи  булса, 


a
dx
x
f
)
(
интеграл  хам 
якинлашувчи булади. Бу холда 


a
dx
x
f
)
(
интеграл абсалют якинлашувчи интеграл дейилади.