В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

\к+1
к+1 ^ci+1
О С
дх⁴
D
(Ал)²
(8.19)

где с — функция концентрации;
к — номер расчетного временного слоя; i — номер расчетного узла.
Особо рассмотрим представление конвективного члена, который может аппроксимироваться тремя путями

к+1 А+1
^ci-1
с,
— С
^ci
_pdC)А+1 дх i
1—1
— ~v
Ал
к+l к+1 ^ci+1 ~^ci
к+1 jt+1
+1
2 Л:

(8.20)
Первый способ ведет к неустойчивой схеме (представления об устойчивости численных схем даны в разделе 4.3.3); последняя апп­роксимация способна приводить к заметным «выбросам» (осцилля­циям) численного решения, особенно для точек, прилежащих к фронту переноса. Поэтому обычно предпочитают аппроксимировать конвективный член по второму способу (так называемая «левая» разность). Исходя из этого, с учетом выражений (8.18) и (8.19), уравнение конвективно-диффузионного переноса (6.21) записыва­ется в неявном виде следующим образом:
А+1 _ DA.t * £+ 1_-> Л+1 , А+1. , VА( / А+1 __ Jfc+K
2 V^е/—1 ^Ci ^Ci+l ) ТГАл I ^Ci '
^Ci
~^Ci
п (Ал)
(8.21)
Для нахождения погрешности аппроксимации (8.21) разложим искомую сеточную функцию концентрации в ряд Тейлора:

\к А (+	' д^2с	+ sf	^(д^ъс
) i	И	I i

л
(At)³

+ . .

\k
(At)²
dc
+


Ajc +
+
(8.23)

( лЗ 1 о с	^k(Ax)^2At +	( аК ) а с
д х^2д 11	6 i	dxdt^2 V /

(At) Ax 6
dt^d

^fd^2c	к ~ IM +	о с	к ,
	2 “ i	дх^3 \ У	6 ~ i

*+1— ¹ _i_ (дс) _A . ,
ъ+i ~^ci⁺ bm ^{At +}
\*

Отбрасывая члены малого порядка, найдем искомую погреш­ность:

\*
I
<Гс
дх^:
(8.24)
г, . vAx . v At
L/Л о h-=
I 2 п

Следовательно, при использовании леворазностной аппрокси­мации конвективного члена фактически моделируется задача массо­переноса с коэффициентом диффузии D_p, равным:

Ах
1 +
D_p=D
(8.25)
у At)
пАх\

т.е. значение D_p больше, чем действительный коэффициент диффу­зии D; подчас эти величины различаются на порядок .
Из соотношения (8.25) следует, что в случае схемы поршнево­го вытеснения (D * 0) фронт переноса будет «размазан» за счет чис­ленных эффектов (так называемая численная диффузия). Количест­венно влияние этого фактора можно оценить на примере фундамен­тальной задачи о распространении загрязнения при мгновенном из­менении концентрации на одной из границ области (см. раздел 7.3). На рис. 8.12, отвечающем расчетным значениям п = 0,3 и v х%/D = 50, показана зависимость относительной погрешности се­точного решения (A c(x,ty от числа пространственных (М * х%/Ах, где х° — расчетная координата фронта) и временных (АО шагов для сечения, расположенного поблизости от фронта поршне­вого вытеснения (х/х0,95). Видно, что при реальных условиях
моделирования погрешность численного решения может достигать десятков процентов. Важно, что в отличие от задач фильтрации, для

которых при М > 5-10 (в данном случаем =Ь/ Ах, где L — область влияния моделируемого возмуще­ния) дальнейшая дискре­тизация кусочно-одно­родных областей не ведёт к заметнбму уменьшению погрешности, при модели­ровании уравнений пере­носа дробность разбивки по пространству обычно имеет решающее значе­ние в гораздо более широ­ком диапазоне (см. рис. 8.12). Используя аналити­ческие оценки и опираясь на результаты численного моделирования при боль­ших N(N > 50+100), мож­но получить следующую оценку для выбора шага по пространству:

Рис. 8.12. График зависимости относи­тельной погрешности сеточного ре­шения AV(x,t) задачи конвективно­диффузионного переноса от дробности пространственной разбивки
A* -Ю,2)
(8.26)
Для сравнительно больших скоростей фильтрации, когда D v, получаем условие:
(8.27)
Д*< (0,1 -Ю,2)^*Г
Следовательно, при реальных значениях параметров массопере­носа шаг разбивки по пространству должен оыть соизмеримым с константой гидродисперсии Oj. Нетрудно видеть, что это условие
является чрезвычайно жестким: реально количество расчетных бло­ков измеряется многими сотнями или тысячами.
Рассуждая теоретически, ситуацию, казалось бы, можно улуч­шить обращением к явным разностным схемам (см. раздел 4.3.3) при соблюдении необходимого условия устойчивости [21 ]:
Нетрудно показать, что в этом случае погрешность аппроксима­ции равна:
vAx
/ Л. \
2 п
D +
*JL дх²
(8.29)

т.е. меньше, чем у неявной схемы (см. формулу (8.25)>. Более того, при выполнении условия
у А( _.
п Ах (8.30)
эффекты «численной диф­фузии» вообще исчезают.
К сожалению, однако ис­пользование явных или явно-неявных схем приво­дит к численным эффек­там иного характера: вбли­зи фронта вытеснения воз­никают ошибки — осцил­ляции численного реше­ния (рис. 8.13).
Таким образом, при решении задач массопере­носа в подземных водах р_ис. 8.13. Влияние эффекта осцилля- приходится ориентиро- иий на точность численного решения ваться на существенно ме- для различных схем. нее точные, чем при моде- Схемы: О = 0 - явная; 0—0,5- явно-неявная; лировании задач фильтра- 0-1- мявная; кривая А - точное решение ( D ции, конечно-разностные “0.0/ м /сут; v-0,1 м/сут; n-0,l;t-10 сут; схемы, требующие для &х -1м; At —0,25 сут) своей реализации непрак­тично (с точки зрения затрат машинного времени) высокой дробно­сти разбивки области массопереноса (см. формулу (8.27)). Это зача­стую делает целесообразным дополнительное упрощение математи­ческой модели миграции подземных вод (миграционную схематиза­цию) , а также подразумевает проведение дополнительных исследо­ваний, направленных на обоснование эффективных методов и схем решения таких задач.
Заключение
Заканчивая курс, автор надеется, что у читателя, про­работавшего эту книгу, сложилось достаточно полное представление и о главных принципах, лежащих в основе науки о движении подземных вод, и о методах решения конкретных задач. Вместе с тем хотелось бы, чтобы все прочитанное не создало впечатления полной завершенно­сти или «закоснелости» изложенной теории, чтобы чита­тель сумел увидеть ее слабые места, побуждающие к даль­нейшему творческому анализу и самостоятельным иссле­дованиям.
Для большей убедительности приведем краткий обзор возможных (но, конечно, не всех) точек приложения на­учных устремлений будущих инженеров-гидрогеологов в сфере ДПВ и сопряженных с нею направлений исследова­ний.
Прежде всего, чтобы результаты наших исследований были эффективными, главные усилия следует сконцент­рировать на коренном улучшении исходной гидрогеоло­гической информации — основе для решения любой ин­женерной задачи. И хотя необходимость устранения, а точнее снижения информационного барьера — основная проблема современной гидрогеологии в целом, ведущее MecTQ в ее разрешении принадлежит принципам и методам ДПВ . Наиболее четко этот тезис подтверждается на при­мере гидрогеологических изысканий и наблюдений, т.е. тех видов работ, которые и призваны в первую очередь получать исходную гидрогеологическую информацию: здесь гидродинамические принципы определяют как ме­тодику проведения и интерпретации этих видов работ, так и саму их постановку (распределение ассигнований по отдельным видам работ, размещение работ по площади и во времени, целесообразные объемы работ и т.д.). Поэто­му идеи ДПВ лежат в основе многих поисковых исследо­ваний в области оптимизации гидрогеологических работ, направленных на повышение полноты и качества получа­емой информации.
Если иметь в виду другую важную сторону нашей работы — гидрогеологические прогнозы, то здесь, поми­мо проблемы исходных данных, наименее изученными остаются вопросы, связанные с прогнозными оценками взаимодействия подземных вод с поверхностными или, более широко, — с прогнозными оценками условий пита­ния и разгрузки подземных вод. Очевидно, что по мере улучшения необходимой исходной информации потребу­ется разработка теории, позволяющей проводить такие оценки на общей научно-методической основе, объединя­ющей движение (миграцию) подземных вод, влагопере- нос (солеперенос) через зону аэрации и динамику повер­хностных режимообразующих факторов. Более близкая задача, решение которой возможно уже на достигнутом к настоящему времени научно-методическом уровне, - пре­вращение гидрогеологических прогнозов в основу регио­нального управления ресурсами и качеством подземных вод; в частности, с этой целью в последнее время все шире внедряются постоянно действующие модели регионов (пока главным образом геофильтрационные). При этом очень важно добиваться тесной связи гидрогеологических прогнозов с оптимизацией гидрогеологических изыска­ний и наблюдений на основе принципов обратной связи и адаптации (см. раздел 7.5): прогнозная модель, управляя разведочным процессом, в то же время постепенно «само- обучается» благодаря поступлению новых данных изы­сканий (наблюдений).
Далее, широкие перспективы открывает тесная связь принципов и методов ДПВ с другими направлениями гид­рогеологии (что уже было подтверждено автором выше на примере комплексного - гидрогеомеханического - подхо­да к задачам инженерной гидрогеологии). Наиболее остро эта проблема стоит сейчас применительно к щдрогеохи- мии, где даже изложенные выше простейшие элементы теории миграции подземных вод используются крайне слабо. В результате этого многие гидрогеохимические ис­следования ведутся, по существу, в отрыве от анализа движения подземных вод, что весьма отрицательно ска­зывается, например, на такой важной области исследова­ний, как охрана подземных вод. Очень слабо пока внед­ряются идеи ДПВ и в региональную гидрогеологию, из-за чего многие исследования здесь завершаются лишь на уровне общих рассуждений качественного характера. На­конец, недостаточно освоены пока гидрогеологами гео­физические методы гидрогеологической направленности, а традиционное проведение этих работ геофизиками, не­достаточно знающими теорию ДПВ, часто сводит эффек­тивность гидрогеофизических работ к минимуму. К этому следует добавить, что во всех упомянутых сферах гидро­геологических исследований речь должна идти не только о внедрении последних достижений, но и о дальнейшей разработке теории ДПВ с учетом специфики соответству­ющих задач.
В целом затронутые здесь проблемы ни в коем случае не исчерпывают список недостаточно разработанных или вообще нерешенных задач гидрогеологии, тесно контак­тирующих с теорией ДПВ , однако даже на их базе можно понять, в каких направлениях должны развиваться в пер­вую очередь основы этой теории.
Перечислим главные направления, требующие актив­ных поисковых исследований.
В области физико-механических основ ДПВ:
|~Т~ изучение движения жидкостей через породы раз­деляющих слоев с привлечением не только гидродинами­ческих, но и гидрогеохимических и гидрогеофизических методов;
пг
2 I анализ закономерностей пространственной фильтрационной изменчивости водоносных и водоупор­ных комплексов, а также профильной фильтрационной анизотропии;
изучение физической специфики фильтрацион­
ных процессов при опытных опробованиях, в том числе:
а) особенностей проявления емкостных свойств с уче­том упругогравитационных эффектов, растянутости во­доотдачи в капиллярной кайме и т.п.,
б) специфики проницаемости трещиноватых пород при масштабах опробования, существенно меньших эле­ментарного репрезентативного объема;
|~4 | исследование миграции (в частности, макродис­персий) в гетерогенных водоносных комплексах с учетом различных массообменных процессов (сорбции, ионного обмена и пр.);
[~5] изучение влаго- и солепереноса в породах зоны аэрации с учетом их реальной гетерогенности и неодно­родности;
[~б ] физический анализ динамики влажности в преде­лах капиллярной каймы, т.е. на контакте зоны насыщения и зоны аэрации.
В области математических основ ДПВ и мето­дов математического моделирования:
щения;
Й
Ш дальнейшая разработка математической модели совместного движения влаги в зоне аэрации и зоне насы-
развитие расчетных моделей миграции в гетеро­генных водоносных комплексах с учетом сложного про­странственного характера миграционного процесса, обус­ловленного поперечной дисперсией, плотностной конвек­цией и трехмерным характером фильтрационного поля;
|~3 | разработка эффективных методов численного моделирования фильтрационных и миграционных про­цессов — существенно ориентированных на персональ­ные компьютеры;
~4~| исследование фильтрационных и миграционных процессов со стохастически распределенными входными данными, отражающими пространственную фильтраци­онную изменчивость водоносных комплексов, случайные колебания уровней подземных вод и другие факторы, имеющие вероятностный характер;
|~5~| дальнейшая разработка эффективных методов решения на АВМ и ЭВМ обратных задач, ориентирован­
ных на интерпретацию данных гидрогеологических на-
зработка методов исследования на имитацион­

блк
ных моделях задач оптимизации гидрогеологических изысканий и исследований.
Последнее направление требует пояснений. Здесь под имитаци­онной моделью понимается модель некоторого гидрогеологического объекта (реального или «придуманного» исследователем), все пара­метры которой считаются априорно заданными — в детерминиро­ванном или стохастическом виде. На такой модели с помощью ЭВМ имитируется комплекс изысканий или наблюдений (например, ими­тируются опытные откачки), по которому определяются расчет­ные параметры. Далее осуществляется сопоставление эффекта рабо­ты того или иного инженерного сооружения (также имитируемого на модели) в двух вариантах - при первоначально заданных параметрах модели («истинный» эффект) и при расчетных ее параметрах (рас­четный эффект). Благодаря подобной имитации появляется возмож­ность оценить достоверность результатов разведки, а также влияние погрешностей изысканий на достоверность прогноза. Отсюда следу­ющий шаг — к оценке целесообразных объемов изысканий, обеспе­чивающих требуемую достоверность прогнозов.
Здесь рассмотрен лишь частный пример исследования оптимиза­ционной задачи с помощью имитационного моделирования, однако уже он достаточно убедительно показывает, что численное модели­рование на ЭВМ следует рассматривать не только как «метод быст­рого счета», но и как мощный инструмент исследования многих не­решенных проблем гидрогеологии.
В целом же результативность исследований по пере­численным слабо разработанным проблемам ДПВ, как и эффективность от практического приложения принципов и методов ДПВ в различных отраслях гидрогеологии, бу­дут определяться в большой степени профессиональной компетенцией гидрогеологов, их способностью представ­лять в одном лице и геолога, и инженера.
Ответы на задачи и вопросы
К СТР. 31
, где М — масса, L — длина,
Размерность величины fi — -j-j, Т — время (например, г/ (см *с).
к стр. 32
Давление воды на дно корабля и на морское дно р — y_oz, где z —
G-y_o^v
глубина. Давление корабля на морское дно р_э — ^—, где (О —
площадь дна корабля.
К СТР. 55
В первом случае поршень останется неподвижным, во втором — временно переместится вверх.