В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

a R - ^At
ф ^ V®’ (4-71)
где а_ф — выбранный масштаб сопротивлений;
поэтому R_t носит название временного сопро­тивления.
Следовательно, на построенной таким образом сетке электрических сопротивлений потенциалы 17* отвечают
напорам Я* на расчетный момент &, — если на концы временных сопротивлений R_t подаются известные потен-
^li
циалы i/*^—1 в предшествующий момент (£-1). Решение задачи на такой модели проводится от шага к шагу:
[Т ] на концы сопротивлений R_t подаются потенциа­лы t/P, отвечающие заданным начальным значениям на­пора Я.⁰, и в узловых точках снимаются потенциалы Я/, отвечающие напорам Я/для первого расчетного момента времени t_x = 1 A t\
_2 J значения Uj подаются на концы временных со­противлений и в узловых точках снимаются потенциалы Uf и т.д.
Аналогично могут решаться и двумерные плановые задачи, тогда каждый узел сетки будет содержать пять сопротивлений (в уравнении (4.68а) /1 = 4).

Т77УТТТ71^\У1^^Т7Т77%-ПМ /7~/7х
L
Рис. 4.8. Схема пространственной разбивки области фильтрации
Изложенная схема моделирования была предложена Либманом. Благодаря дискретному представлению вре­мени она позволяет, таким образом, моделировать неста­ционарный фильтрационный процесс стационарным электрическим током. Отсюда видно, что прямая анало­га я процессов в данном случае отсутствует, и сетка Либ- мана представляет собой, по сути дела, аналоговое вычис­лительное устройство (см. раздел 1.7). Она относится к так называемым ЛЛ-сеткам, в которых и время, и про­странство моделируются дискретно с помощью активных электрических сопротивлений-резисторов (R).
Наряду с этим используются и ЛС-сетки, в которых время остается непрерывным: емкость водоносной систе­мы реализуется разрядкой во времени электрических ем­костей-конденсаторов (С), подключаемых в узловые точ­ки (вместо временных сопротивлений). В этом случае уравнение электрического тока имеет вид:
" ^иг^и _С»У
l = i ^Ri ^st_M' (4.72)
где, в отличие от формулы (4.70а), в правой части сохра­няется непрерывная форма записи производной. Так как этому случаю соответствует представление правой части
уравнения (4.68) в виде/i а)~~, то для подобия упомяну-
д t
тых уравнений фильтрации и нестационарного электри­ческого тока необходимо потребовать, чтобы
ц* а) С, t — a_ft_M, (4.73)
где t_M — модельное время (замеряемое время разрядки конденсатора).
Масштабные коэффициенты a_t и а_ф должны быть, очевидно, связаны дополнительным критерием подобия:
^at~^a[i ^аФ" (4.74)
Для решения гидрогеологических задач на RR- и RC- сетках используются специальные электроинтеграторы, но в принципе такого рода модель (особенно RR-сетка) может быть сравнительно легко собрана для каждого кон­кретною случая.
Простота, доступность и физическая осязаемость се­точных электрических моделей наряду с вполне удовлет­ворительной надежностью и точностью привели в свое
время к исключительно широкому и эффективному их внедрению в практику гидрогеологических исследований (примеры такого рода приведены в разделе 8.3); методи­ческие аспекты моделирования более подробно рассмот­рены, например, в работах [7,14]. Вместе с тем, в послед­ние десятилетия в гидрогеологии наиболее широко стало использоваться математическое моделирование на ЭВМ [19,20,40,48].

3. 
   Исходные представления о схемах численного
   

моделирования нестационарной фильтрации на ЭВМ
Рассмотрим простейшее уравнение одномерной филь­трации (4.1) в конечно-разностной форме:
.Д?₊,-2Я*+Я*_
A t “ (Ал)² ' (4.75)
Пусть для исходного уравнения заданы граничные ус­ловия: Я (0, t) = Я = const, Н (L , f) ^т Н = const и начальное условие И (х, 0) = Й(х) (рис. 4.8). На выбран­ной конечно-разностной сетке краевые условия запишут­ся в виде
Н^к_я=Н_к Н°=П, (для ( > 0 ) ,
где нижний индекс i * 0 отвечает левой границе, a i-M — правой границе (М - Ы А х); верхний индекс к * 0 отве­чает начальному моменту времени.
Перепишем уравнение (4.75) в виде
Я?^+| = Я,*+ ——,(я*,, -2Я,*+ Я* .') ,
¹ (Дх)²1 ^{1+1 1} '7 (4.75а)
где в правой части стоят лишь значения напоров на £-ом временном слое. Положим к=0 и / = 1, тогда из уравнения

75. 
    получаем формулу для расчета напора Н\ в первой узловой точке (т.е. для х * 1 -Ах) на первом временном слое (т.е. на момент t - 1 -A t):
    

Давая далее индексу i последующие значения (i = 2, 3, ..., М — 1), аналогично определяем все остальные значения Н. на первом временном слое.
Теперь положим в формуле (4.75а) к = 1 и переходим к расчету значений яДт втором временном слое (т.е. для t = 2-Л/), подставляя для этого в правую часть равенства (4.75а) уже известные нам значения Я.¹, определенные для первого временного слоя, и т.д. Так последовательно вы­полняется расчет до последнего N-го временного слоя, Отвечающего конечному расчетному моменту t_N(N'At =
Рассмотренная конечно-разностная схема, описывае­мая уравнениями (4.75), называется явной. Она позво­ляет выразить в явном виде неизвестное значение напора на расчетном временном слое через известные его значе­ния, рассчитанные на предыдущих временных слоях. Это
д^Н
оказывается возможным потому, что производную ₂в
дх
правой части исходного уравнения (4.75) мы выразили через значения напоров, отвечающие началу расчетного временного интервала (т.е. через напоры, отвечающие верхнему положению пьезометрической кривой на рас­смотренной на рис. 4.7а схеме).
На самом же деле, пьезометрическая кривая принима­ет за расчетный интервал времени A t множество последо­вательных положений от Я*до Я^⁺¹, и поэтому логиче­ские соображения никак не препятствуют и другому ва­рианту записи исходного уравнения:
ггЛ+1 тгк гтЛ+1 Л гг^+1 I гг^+1
где пространственная производная в правой части выра­жена через значения напоров, отвечающие концу расчет­ного временного интервала (т.е. через напоры, отвечаю­щие нижнему положению пьезометрической кривой на рис. 4.7а).
ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание, что аналогичное уравнение использовано при обосновании схемы Либмана (см. раздел 4.3.2).
Однако, в отличие от уравнения (4.75), уравнение

75. 
    не позволяет явно выразить искомую величину
    

tff⁺¹ через значения предыдущего временного слоя:
определение #*⁺¹ становится возможным лишь после того, как мы запишем выражения вира (4.76) для всех узлов / = 1,2,..., М — 1 на к +1 -ом слое и решим получен­ную систему уравнений. С этой точки зрения конечно­разностная схема, описываемая уравнениями вида (4.76), получила название неявной.
Понятно, что и для человека, и для ЭВМ гораздо проще последовательно провести М однотипных расчетов по формуле (4.75а), чем решать систему из М уравнений. Поэтому, казалось бы, логически ясно, что всегда разум­нее считать по явной схеме, нежели по неявной. Однако с конечно-разностными схемами дело обстоит отнюдь не так просто. Они обладают специфическими свойствами, из-за недоучета которых подобные, внешне логичные рассуждения могут оказаться неприемлемыми. Для при­мера на рис. 4.9 приведены в схематизированном виде результаты расчетов одной и той же фундаментальной (см. раздел 4.1.1) задачи по явной и неявной схемам. По мере роста времени (числа временных шагов) неявное решение все теснее сближается с точным (построенным по аналитической зависимости (4.12)). Между тем, явное решение при том же, достаточно большом, временном шаге At ведет себя весьма неестественно: оно начинает постепенно «раскачиваться» и приводит к физически не-
* к.
При этом известными, кроме величин Н- с предыдущего временного слоя, яв­ляются граничные значения реальным результатам (например, оно дает положение уровня воды ниже подошвы водоносного горизонта). Что­бы понять такое поведение решения, нужно вспомнить, что разностные представления аппроксимируют произ­водные, входящие в исходное уравнение, приближенно и, следовательно, на каждом шаге вычислений в значения искомой функции (напора) вносятся какие-то погрешно­сти. Если в процессе вычислений по мере роста числа операций (в нашем случае — числа временных шагов) эти погрешности постепенно подавляют, гасят друг друга, то конечно-разностная схема является устойчивой и не может приводить к результатам, подобным кривой 2 на рис. 4.9. В противном же случае, когда идет накопление погрешностей в процессе счета, схема называется не­устойчивой. Ясно, что вести расчет можно только по устойчивым схемам.
Так вот, оказывается, что неявные схемы (в частности

76. 
    ) устойчивы всегда (отсюда и отмеченная выше на­дежность схемы Либмана), в то время как для устойчивости явных схем необходимо вводить ограничения на шаг по времени A t. Например, схема (4.75) устойчива, если
    

a At 1

(4.77)

Рис. 4.9. Схематизированное представление результатов расчета фундаментальной фильтрационной задачи:
1 - данные расчета по неявной схеме; 2-то же, по явной схеме; 3 - точное аналитическое решение

причем при соблюдении этого условия результаты счета по явной схеме (4.75) сходятся к точному решению даже быстрее, чем при использовании неявной схемы (4.76) при тех же параметрах сетки Аде и A t.
Обратите внимание, что в условии (4.77) в знаменателе стоит
величина Аде?. Следовательно, увеличение дробности пространст­венной разбивки (уменьшение Ах) не обязательно приводит к росту точности вычислительной схемы (это еще раз показывает, что логику численных методов нельзя уяснить, отталкиваясь от одного лишь здравого смысла).
Выполнение условия (4.77) часто требует, однако, резкого увеличения числа временных шагов и объема расчетных операций в целом. Именно поэтому в практике моделирования на ЭВМ основное развитие получили не­явные схемы, а также смешанные - явно-неявные.
Простейшим примером явно-неявной схемы может служить следующее конечно-разностное представление уравнения (4.1), обобщающее схемы (4.75) и (4.76):
^г к I и к