В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

Моделирование нестационарных плановых потоков

1. 
   Конечно-разностная форма дифференциальных уравнений
   

Наиболее широкие возможности для решения неста­ционарных задач представляет математическое модели­рование - аналоговое, использующее чаще всего электри­ческие модели, и численное, реализуемое на ЭВМ. В тео­ретической основе моделирования нестационарной филь­трации лежит метод конечных разностей , в соответствии

с которым и пространство, и время разбиваются на конеч­ные интервалы, т.е. представляются дискретно на некото­рой пространственно-временной сетке с узловыми точка­ми x_j} у_;., t_k. При этом реальное непрерывное распределе­ние напоров Н(х, у, 0 заменяется дискретным: отыскива­ют или считают заданными напоры H(x_if y_t, t_k) во всех узловых точках сетки. Производные от напора в той или иной точке при этом заменяют приближенными конечно­разностными представлениями и они оказываются, таким образом, выраженными через разности в значениях напо­ров на концах пространственных или временных интерва­лов, включающих данную расчетную точку. Например, для одномерного плоскопараллельного случая, когда об­ласть фильтрации длиной L разбита сечениями x_t (0 < х,-< L) на интервалы длиной Дх, а расчетный период времени t разделен на последовательные промежутки t_A(0< t_k< t) продолжительностью Д t, имеем следующие выражения для производных в произвольной точке сетки Ц, /¹>:
д Н _ ^Я(*;, h) ~^н <Л-1> h) _ ^Я<Л+1> ⁽к)~^Н (^ХР h)
~ 9
дН



(4.64)

Дх


дх^{2 x}ih А*

Дх
Дх
(4.66)
(Д xf

В дальнейшем для упрощения записи мы введем след- щующую индексацию: H(x_it t_k) = н£ где н£— напор в
расчетном узле номер i (0< i на к-ом расчетном слое (0 £ к < A t/ t). В этих обозначениях, на­пример, уравнение (4.1) в точке /, к имеет следующее приближенное конечно-разностное представление:
_а* ^Яж - 2 Я,*+ яД_, ^ яД-Я*~'
“ (Дх)^{2 А<} ’ (4.67)
ЗАМЕЧАНИЕ. Если придать этому уравнению несколько иную форму:
яД-яД_, яД₊,-яД .яД-У-яД
Ах Ах Р At ’(4.67а)
то оно приобретает простой балансовый смысл (рис. 4.7,а). В самом деле, первое слагаемое в левой части - расход потока в среднем сечении (/ — 1/2) между узлами ini — 1, второе слагаемое — то же, в среднем сечении (/ + 1/2) между блоками / + 1 и /, а правая часть выра­жает собой скорость изменения объема воды, заключен­ного в интервале (/ — 1/2; i + 1/2), при снижении пьезо­метрической кривой. Иначе говоря, уравнение (4.67) — суть конечно-разностная форма условия сохранения мас­сы жидкости — уравнения неразрывности.

2. 
   Аналоговое моделирование нестационарной фильтрации
   

Придадим уравнению (4.67а) более общую форму,
считая, что параметры пласта ju* и Т могут меняться от сечения к сечению:

-t-k&t

y///////
LJULLL/JLLL

a
**4
a;
I.' ■| •

гггтгт
ax
71^г7~7~ГТТГ771~
L+i

6

Ui-tRi-i Ut *i« ^uh
Puc. 4.7. Моделирова­ние нестационарной фильтрации: a - исходная схема напорно­го пласта; 6 - схема рези­сторной сетки

где Т., и Т_м — проводимости на участках между сече­ниями i+(i - 1) и r*(rfl); вводя фильтра­ционные сопротивления согласно фор­муле (3.54)*, получаем:
н[L, -я? .Щн-н?
Ф,._ 1 ⁺ Ф,
* ¹
H_t (О.
'i+1 • • ^Ai ’ (4.68)
где w_i — площадь участка между сечениями i + 1 /2 и i - 1/2, прилежащего к точке i(a)_t. = Ах- 1);
И.
упругая водоотдача на этом участке.
Ширину потока В считаем равной единице.
В более компактной форме уравнение (4.68) можно записать, опуская индекс i расчетного узла:
v Hj—H * Н^к-Н^к~^х
Z ——ii ы гт—',
Ф} * A t (4.68а)
где индекс /=1,2 отвечает узлам, соседним с расчетным (я-2).
Рассмотрим теперь сетку электрических сопротивле­ний, элементы которой представлены на рис. 4.7б. Со­гласно закону Кирхгофа, сумма токов, поступающих в i-ый узел, должна равняться нулю:
U^k - U^k uL. - и^к 1/!~¹ - и^к
1 _(_ ^{f 1 1} _|_ ‘ I _ Q
^Ri-1 ^Rt+1 ^R
t:
(4.69)
(обозначения потенциалов и и сопротивлений R ясны из рис. 4.76). Перепишем формулу (4.69):
Р*Ч -^и> vbi-ut_v}-dr
^Ri~ i ^Ri+1 ^RI, ’ (4.70)

или в более компактной форме:
и и^к- г/^-1
(4.70а)
Вспоминая теперь материал раздела 3.5.2, мы убежда­емся, что уравнения (4.70) и (4.70а) оказываются экви­валентными уравнениям (4.68) и (4.68а) нестационарной фильтрации, если потребовать соответствия: