В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

Задача о плоскорадиальной фильтрации к сква­жине

Пусть в напорном водоносном пласте ведется откачка воды из совершенной скважины радиуса г_с (рис. 4.4). В плане пласт считаем неограниченным, т.е. за время откач­ки влияние ее не распространяется до границ пласта. Если исходная пьезометрическая поверхность горизонтальна, то из соображений симметрии ясно, что движение воды в пласте является одномерным плоскорадиальным и подчи­няется, согласно формулам (2.22а) и (2.11), уравнению
а в / дН\ дН

(4.19)
гдеЯ = H(r, t).
Начальное условие:

(4.20)
Граничное условие на внешнем контуре зоны влия­ния:

Вопрос о граничном условии на контуре скважины пока остается открытым.

f / y—r~rv~7Tr
v-7^-7-7-7^

■. * . ^ . *. \ ^ \\ •
• * * 'j • • * » • j • • • *
» * * ■ * * ⁹ » • • I • * * * • I * * • .
0
Puc. 4.4. Схема фильтрации к скважине в неограниченном пласте По аналогии с разделом 4.1.1, введем безразмерную комбина- _г²
цию tj = —^ и попытаемся найти решение уравнения (4.19), завися- 4 a t
щее только от 1} [Н=H(tj)]. Для этого заменим производные по rut производными по новой переменной ty. Тогда уравнение (4.19) при­водится к виду:
(4.22)
ЗАДАЧА. Получить самостоятельно уравнение (4.22) из уравне­ния (4.19).
Введем новую функцию и = dH/d Т] и разделим переменные
dt].
du _ _ 1 +Г] и П
Интегрируем: In и= —]&t] —t] +]flC_v где Cj - произвольная постоянная. Отюсда
dH = е~Ч dr].
Интегрируем еще раз в пределах от У] до <». С учетом граничногс условия (4.21) получаем

n₀-H(fi) = ~Cj V*- n
где под знаком интеграла введено новое обозначение г для перемен­ной интегрирования. Интеграл с переменным нижним пределом, сто­ящий в правой части этого равенства, известен как интегральная экспоненциальная функция и обозначается символом Е$
(4.24)
00 —z
V
Для определения этой функции составлены подробные таблицы (см. приложение 2).
Итак,

4а t
(4.25)
Я(Г,0=Я„-С_оЯ;

Для определения С _t вспомним теперь, что мы пока не зафикси­ровали граничного условия на скважине. Найдем выражение для расхода скважины
Q_£=2*t (₄4)]Ц =
С, {;£[*,(-,)3®]Ц-

а
V
= - АлТС_х е
4 а t' г —г.
= - 2пТС₁ Г_с

2 9|(
Так как величина r_c/(4a t) при реальном малом радиусе сква­жины быстро стремится к нулю с ростом t, то множитель exp [ — rV(4а* *)] уже при небольших значениях t оказывается прак­тически равным единице. Например, при г,*=10 см и а ^ш 10³ м²/сут уже через 1 мин. после начала работы скважины это справедливо с погрешностью менее 1 %. Следовательно,
с
(4.26)
¹ 4ЖТ ’

где расход скважины практически может считаться не зависящим от времени. Формула (4.25) принимает вид
Q ( 2 \
=Н₀+-
4лТ^Е'¹
(4,27)
и она может, таким образом, рассматриваться как реше­ние поставленной задачи для случая скважины, работаю­щей с постоянным расходом Q_c. Вводя далее понижение напора S(r, Т) = Н₀ — Я, приходим к окончательному выражению:
^ , \

S(rj) =
(4.28)
4а t
Е
4 лТ *

здесь

W
4а* t
известному как решение Тейса [47]. Нетрудно показать, что в таком виде оно годится и для случая исходной пье­зометрической поверхности произвольной формы (дока­жите это самостоятельно, пользуясь методом сложения течений, — аналогично изложенному в разделе 3.3)
При малых значениях аргумента, примерно при
_2

V ~
4а* t
(4.29)
< 0,05-4),! ,

функция —Eg (—ф хорошо аппроксимируется выраже­нием In (0,56/ф, и решение Тейса записывается в виде
4 лТ г (4.30)
Для двух точек г_х и г₂, удовлетворяющих условию (4.29), разность понижений S_x — S₂ = A S описывается, следовательно, зависимостью
Qr ^г~>

отвечающей формулам раздела 3.2 для стационарной плоскорадиальной фильтрации. Иначе говоря, в зоне, удовлетворяющей условию (4.29), пьезометрическая кривая перемещается во времени параллельно самой себе, не изменяя формы, т.е. здесь имеет место квазистацио- нарный режим движения. Физически это означает, что расход жидкости, обусловленный сработкой упругих за­пасов в пределах упомянутой зоны, пренебрежимо мал в сравнении с транзитным расходом, поступающим в нее из периферийных зон области влияния откачки.
Формулы (4.28), (4.30) и (4.31) широко используют­ся при обработке результатов опытных откачек (см. гл. 5).
Обратим внимание, что формула Тейса годится только для скважин, работающих с постоянным рас­ходом в неограниченном пласте. Однако, пользуясь ме­тодом сложения течений, можно получить решение для скважины с изменяющимся дебитом или скважины, рабо­тающей вблизи прямолинейной границы пласта. Анало­гично изложенному в разделе 3.3 — простым суммирова­нием — получают решение и для группы скважин.
ЗАДАЧА. Вывести формулу для расчета понижений в точке А (рис. 4.5) при работе скважины с постоянным расходом вблизи непро­ницаемого сброса. При выводе рекомендуется применить метод отра­жений (см. раздел 3.3).
Выведем теперь формулу, описывающую процесс восстановления уровней после прекращения откачки. Пусть откачка с расходом Q_c заканчивается через время t₀. Это равносильно тому, что начиная с момента t₀ наряду с продолжающейся работой откачивающей скважины в той же точке включается нагнетательная скважина (с рас­ходом —Q_c). Тогда, согласно принципу суперпозиции, понижение напора на стадии востановления (т.е. при t > t₀) определяется по формуле
/ о \
-Я*-Б
4лТ '
(4.32)