В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

их использования для исследования двухмерных задач плановой фильтрации

1. 
   Фундаментальное решение (задача о подпоре вблизи водохранилища)
   

Напорный водоносный пласт в прибрежной полосе водохранилища, урез воды в котором прямолинеен и про­стирается на большое расстояние в плане, представлен на рис. 4.2. Других границ пласта поблизости нет (схема полу ограниченного пласта). Считаем, что нам задано не­которое стационарное распределение исходных напоров в пласте Я/х). Пусть в момент (=0 уровень в водохрани­лище резко (условно-мгновенно) повышается на величи­ну А Я.°Требуется найти новое - нестационарное - распре­деление напоров для различных моментов времени t > 0.
Согласно зависимости (2.22а), исходное уравнение фильтрации имеет вид
*д²Н ^дН ^й дх² dt ’ (4.1)
где а — коэффициент пьезопроводности;
Я = Н(х, О;
ось х направлена нормально к урезу водохранилища.
Условие на левой границе пласта (при х = 0):

поп 1
московский 2
ДИНАМИКА ПОДЗЕМНЫХ 4
вод 4
О, = о_с-G„ =(Д„ — Д₀)(1 -n)-z=y,-z, 43
_/=^^а«.._с._й, ш 83
шшшш 145
^(4^)⁺f,(^r'5)^+£=°- 176
¹±шл ' 279
ДШш§ 443

Рис. 4.2. Развитие подпора вблизи водохранилища;
1 - исходное положение пьезометрической кривой; 2 - текущее новое положение
Выражения (4.1)- (4.4) дают полную математическую постановку задачи. Однако их удобно предварительно упростить, введя новую функцию:
(4.5)
AH(x,t)=H(x,t)-H_e(x),
отвечающую изменению уровня в сечении х на момент t Тогда исходное уравнение принимает вид

* д
(4.6)
а
Ь(^АД>-эт<^АЯ>-
Л

ВОПРОС. Почему при переходе от уравнения (4.1) к (4.6) в

левой части пропал член
д\
дХ‘
? Напомним, что режим исходного

потока считается стационарным.
Краевые условия для функции АН выглядят заметно
проще:
AH(0,t) ~ АН°\ Д#(оо,*)=0; ДЯ(л;,0)=0.
АН
Введя функцию АН=——. преобразуем уравнение (4.6):
АН⁰
♦ а² (Ан) _д (Ah) ^a dx^{2 dt} (4.6a)
при краевых условиях
A77(0,f) = 1; А Доо,*) = О; А Дх,0) = 0 (4.7)
Отсюда следует, что безразмерная функция АТТзависит от двух аргументов: х q a t, имеющих размерность соответственно длины L и Lr: AH=*f(x, a t). Как следует из Я-теоремы (см. раздел 1.7), филь­трационный процесс в данном случае должен описываться функцио­нальной связью между двумя безразмерными комплексами, а это возможно лишь при условии, что А77=/(А), щеЯ — безразмерный комплекс, составленный из упомянутых аргументов. С учетом раз­мерности последних понятно, что структура величины А определя­ется общим выражением (Ах/VaT ) ^п, где Ann — константы.
Этот простейший пример демонстрирует, кстати, полезность привлечения теории подобия к анализу и решению дифференциаль­ных уравнений, приводимых к безразмерному виду: тем самым вы­являются общая структура решения и минимальное число перемен­ных, полностью характеризующих изучаемый процесс.
Для исследования поставленной краевой задачи (4.6)-(4.7) вве- дем теперь простейшую безразмерную комбинацию: А = л/(2 Vat)n попытаемся найти решение уравнения (4.6), зависящее только от А: АН=АДА). С этой целью заменим производные по t и по х произ­водными по новой переменной А:
£(ДН) =!(Д-*(ДЯ)£ (^) =
= -ж(^дд)^#7=-М(^дд)^;


^(^Д/0=|(^ДЯ)М=|(^ДЙ)^ =
Подставляя полученные выражения в формулу (4.6), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению:
£|ЛЯ) ₊ 2А>Я)=0,
где Д#зависит только от одной переменной А, Введем и = =^(ДЯ); тогда
ff+2b=0-
уравнение с разделяющимися переменными:
— = -2А<*А.
и
Интегрируя, получаем
In См = —А^
где С — произвольная постоянная.
Переходя от функции и вновь к функции АН, имеем:
[Дя(А)] = .
Разделим переменные и проинтегрируем в пределах от А до <»:
СДя(А)|*=^ е~^ dz,
где под знаком определенного интеграла в правой части мы ввели новое обозначение z для переменной интегрирования (чтобы отли­чить ее от значения А нижнего предела интегрирования). Но условие А -* оо отвечает значению х -* оо, и, согласно второму из краевых условий (4.7), АН И-*00 “0. Поэтому последнее равенство упро­щается:
°о _ 2
СДя(А) = -/б *dz.
^{к }} О (4.9)
Для определения постоянной С воспользуемся значением АН при А = 0, т.е. при х *» 0. Тогда согласно первому из краевых условий (4.7) имеем
⁰⁰ —A
САЯ--fe -т d_z.
о
Определенный интеграл в этом равенстве — табличный, значе­ние его равно V$t72~ [16 J. Следовательно,
2 Дя⁰’
и решение (4.9) принимает вид
ML-A l -2 _й
г— J б uZ «
ДЯ° Я (4.10)
Функция, стоящая в правой части этого равенства и зависящая от нижнего предела интегрирования А, широко используется в раз­личных приложениях математики и физики. Для ее определения составлены подробные графики и таблицы (см. приложение 1), в которых она обозначается символом erfс\
о ⁰⁰ -У²
erfc(X)=~fe ^z dz.
wa (4.11)
Заметим, что erfc{<») = 0, a erfciO) ¹ 1.
Решение (4.12) имеет фундаментальный характер. На его основе могут быть получены решения и для более сложных краевых условий. Если, например, график изме­нения уровня в водохранишище носит криволинейный
характер (рис. 4.3), то, аппроксимируя кривую Д H\t) серией мгновенных (ступенчатых) изменений напора, легко приходим к формулам для значений Д Я, отвечаю­щих каждому временному интервалу; так, для второго интервала (t₁ < t₂) получаем
AH = AH°erfc
<4.12)
X '
С учетом введенного обозначения решение постав­ленной задачи принимает окончательный вид:

АН = АН" erf с yU ₊д Щег/с
\ / \ ^{У 0/} /
аНЧЬ)

(4.13)
Тем самым использу­ется принцип сложения течений (см. раздел 3.3) : считается, что при t > t₁ продолжает развиваться возмущение, обусловлен- ное первым скачком уровня на границе, а с мо­мента времени t=t₁ к нему добавляется возмущение,
обусловленное вторым р_ис ^ j Аппроксимация кривой скачком. Для любого мо- изменения уровня мента t_n_j < t _n анало­гично имеем
(4.14)
А Н(х_у 0 ⁼ 2 A H?erfc / = 1

Из приведенных решений нетрудно найти выражения для удельного расхода потока, идущего от водохранили­ща. Например, для фундаментальной задачи
q (x,t) ~~т(АЯ) - Т-
дН л ^{д н}-
дх
д х
-о д _
^ " (4.15)
где q_e
- удельный расход естественного потока, направ­ленного в сторону водохранилища.
Используя формулу дифференцирования интеграла по переменному пределу, получаем
д , , _n d , , dl d (2 f -t , \ 1
Ti^{{erfcЯ) =} dl^(ефЩ{^{е dz}) 7477 ~