В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

Аналитическое исследование нестационарных фильтрационных процессов методами интегральных преобразований

Использованные в разделе 4.1 приемы для аналитиче­ского решения нестационарных задач носили весьма час­тный характер. Более общий подход к решению уравне­ний нестационарной фильтрации дают методы, основан­ные на их интегральных преобразованиях. В результате вместо исходного дифференциального уравнения получа­ют его интегральный аналог — новое уравнение, имею­щее, однако, меньшее число независимых переменных — за Счет удаления той переменной, по которой велось ин­тегрирование. Чаще всего в качестве такой переменной выступает время t, а в качестве интегральных преобразо­ваний — преобразования Лапласа и Лапласа-Карсона, широко используемые в операционном исчислении [16]. Поэтому данный метод решения мы будем именовать так­же операционным.
Пусть F(x_p t) — некоторая достаточно гладкая фун­кция пространственных координат jc- и времени. Введем преобразование Лапласа-Карсона [16]
Ц №,/)] =Т^{1 F(X}ifi ^e~^{t/,p dt} = > ,л ЛП\
p o (4.42)
где исходная функция F(x_itt) называется оригиналом, а получаемая после преобразования функция Т(х) — изображением исходной функции F по Лапласу-Карсо­ну; t_p — некоторая постоянная величина, имеющая раз­мерность времени и называемая параметром преобразо­вания. Таким образом, это преобразование ставит во вза­имно однозначное соответствие две функции: F(x_t, t) и Т( Xj), причем вторая от времени уже не зависит (можно говорить о том, что V (х) — есть некоторое специальное осреднение функции F(x_it f) во времени). Зная функцию Т(х), можно, используя обратное преобразование, найти исходную функцию F(x_if t). Для облегчения этой опера­ции меются специальные таблицы обращения [16].
Отметим некоторые свойства преобразования Ly (~Г[ Lj(Fj + F₂) ■ L₂(Fj) + Lj(F₂) = T_l +T₂~ изображение суммыравно сумме изображений;
[~2 j Lj(a) = а(а = const) — изображение от постоянной равной этой постоянной;
3 Lj{D [F(x_if i) ]} * D{L_X [F(_Xi, t) 1} * DT{x_t) (здесь D — обозначение любого линейного оператора, содержащего производ­ные от функции F только по пространственным координатам);
L_x [F’(x_it 0 ] = (J/tjTixJ - F(x_t, t) 1₁. о — формула для
изображения производной.
Первые три свойства очевидны, последнее — легко доказывается интегрированием в (4.42) по частям.
Перейдем к использованию преобразования Лапласа- Карсона для решения задач нестационарной фильтрации. Исходные уравнения типа (2.22), (2.33) и другие можно, введя функцию понижения напора S(х, у, 0, переписать в следующем обобщенном виде:
4? “ЛЮ- (4.43)
где линейный оператор D(S) не содержит временных про­изводных (линейность здесь предполагает независимость коэффициентов при производных от искомой функции
S).
Применим к уравнению (4.43) преобразование Лап­ласа-Карсона (4.42), введя функцию-изображение:

L_x [S(x,y,t)] =_Tf S(x,y,t) e~ ^fp dt = У (x, y).
(4.45)
p о
С учетом свойств преобразования L_x нестационарное уравнение (4.43) перейдет в стационарное:

A

Если исходная поверхность напоров стационарная, то, принимая S(x, у, 0, получим уравнение в изобра­
жениях
(4.46)
S-t_pD@)= О,
в котором сохранились производные лишь по пространст­венным координатам.
Граничные условия для уравнения (4.46) получаются из исходных граничных условий после применения к ним преобразования Лапласа-Карсона. В частности, при по­стоянных во времени граничных условиях они сохраняют свой вид и после перехода к изображениям.
Таким образом, вместо исходной нестационарной краевой задачи для функции-оригинала S решается более простая (стационарная) задача для функции-изображе­ния £ Для перехода от решения в изображениях к исход­ному решению для функции-оригинала используются таблицы обращений для преобразования Лапласа-Карсо­на [16].

В качестве примера найдем решение уже рассмотренной нами (см. раздел 4.1) задачи о скважине с постоянным дебитом в неогра­ниченном напорном пласте. Из исходного уравнения (4.19) получаем уравнение в изображениях:

(4.47)

Граничные условия имеют в изображениях вид

Решение полученного обыкновенного дифференциального урав­нения (уравнение Бесселя), с учетом граничных условий находим так же, как и в разделе 3.2.2.
«сЧ Ос К ['Ур75*7.Т]
(l/VT'gjq [г_с\Т7^1’ (4.49)
где К₀иК_} — функции Бесселя второго рода нулевого и первого по­рядков от мнимого аргумента.
При г/fa t <0,1 можно считать К₁ [ г V I /(а 1_р ] **,
р
«fi/глллг * и формула (4.49) принимает вид
^(^г)-1ЛТ^Ко (/ГГ') ’
(4.50)
р'
От полученного таким образом решения задачи в изображениях с помощью таблиц обращения находим исходное решение - оригинал
для функции S:
г
Ос ( ²⁴
л *
4а t
что совпадает с формулой Тейса (4.28).
Если решение в изображениях не имеет готового (таб­личного) оригинала, то moitt использоваться приближен­ные - численные методы обращения.
Так, в работе [221 предложена следующая приближенная фор­мула обращения:
S(r)=0,9(-S₁₊fy₂-fr₃), _(4J1)