В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

где 3^ S₂ ^и У₃ — значения изображений при параметрах преобразс вания, равных соответственно:
2jiTS(r,t) _ _{0 9} (_{118 +} 5 333 (₂₎03 A) -
- 3,2 K₀ (2,63 A)] ,
где A = r/(2 yfa* t).
Сравнение этого решения с формулой Тейса дает вполне удовлетворительные результаты.
Численные методы обращения имеют большое значе­ние для эффективного использования интегральных пре­образований при моделировании: в этом случае на модели решается стационарное уравнение вида (4.46) (вместо нестационарного), а по найденным значениям функции изображения S(х, у, t_p) численно определяются искомые значения S( х, у, t).
До сих пор мы говорили об использовании интеграль­ного преобразования для получения аналитического или модельного решения той или иной краевой задачи. Одна­ко при исследовании некоторых вопросов фильтрации обратный переход от решения интегрального уравнения- аналога к решению исходного уравнения (от изображения к оригиналу) не является обязательным: искомые величи­ны могут определяться непосредственно из полученного решения в изображениях. Таковы, в частности, обратные задачи, связанные с определением фильтрационных пара­метров (см. гл. 5), в которых значения исходной функции S известны из полевых измерений. В этих случаях необ­ходимо предварительно рассчитать значения функции- изображения 15, используя известные из наблюдений гра­фики функции S(t). Для численного определения изобра­жения, отвечающего интегральному преобразованию Лапласа-Карсона вида (4.44), может использоваться сле­дующая приближенная формула [23]:
1 ⁰⁰ п
S = 7- / S{t) exp (- t/t\ dt = A₀ S(0) + 2 A, S(/_k).
^lp o ^v k —I
(4.53)
Коэффициенты А_к определяют по следующей табли­це.

К	х --- , ^1к t	^Ак
0		0,091
1	0,335	0,403
2	1,128	0,332
3	2,396	0,138
4	4,167	0,0316
5	6,487	0,0398
6	9,428	0,(3)264
7	13,102	0,(5)836
-^8 ■ - .	17,696	0,(6)106

Порядок вычислений изображения следующий: выби­рается значение параметра 1 (величина, имеющая раз­мерность времени), после чего из таблицы находят значе­ния и соответствующие им значения Далее, при известных значениях t и х_к, из соотношения t_K = х_к t_p определяют моменты времени t_K, на которые для вычис­лений по формуле (4.53) берут известные значения фун­кции S(t_K). Подсчет суммы ряда в формуле (4,53) обычно можно ограничить пятью-шестью первыми членами.
Если функция S(t) становится заметно отличной от нуля лишь при t > tj> 0, то вместо формулы (4.53) лучше использовать формулу
У = т* / S(t) e~^t/tP dt - е~^Р § A. S(t, + A t_k),
р о к — 1 (4.53 а)
где Л t_k = t_K — tj. В этом случае по таблице вместо t_K/t_p находим
Расчет изображения по графику функции S(f) занимает не­сколько минут.
Очевидно, что точность вычисления интегралов вида (4.44) в значительной степени связана с выбором параметра t . С одной сто­роны, величина t должна приниматься достаточно малой, т.е. зна­чение множителя exp(-t/t ) не должно быть слишком большим. Это положение определяется тем, что в выражении (4.44) интегрирова­ние по времени должно осуществляться в пределах от 0 до <», в то время как на практике фактические данные об изменении уровней подземных вод могут быть получены только в конечном интервале времени от 0 до t_Q.
С другой стороны, при слишком малых значениях параметра t на величине искомого интеграла может решающим образом отра­зиться влияние начальных стадий формирования понижений уровня подземных вод или дебитов испытуемых скважин, когда погрешно­сти максимальны.
В целом следует считать всегда желательным выполнение требо­вания:
t <— t
р ~ 6 ⁰ * <4.54а)
Если первые наблюдения до момента (_ш|п являются по каким-ли­бо причинам недостоверными, то следует принимать t отвечающим условию
*p^>2W (4.55)
Таким образом, для эффективного использования операционно­го метода должно выполняться условие (_ш5п 0,1 t_Q.
После вычисления опытной функции S искомые параметры пла­ста определяют непосредственно из аналитического решения задачи в изображениях.
Рассмотрим, для примера, задачу об откачке из скважины в изолированном напорном пласте при произвольном дебите Q/0- Изображение для функции Q_c(t) определится формулой
Q_c=j-SQ_c(i)e-^,/,Pdt.
р о (4.56)
2ЛТ
Аналогично (4.50) решение поставленной задачи в изображени­ях дается формулой
(4.57)
илипри^г< 0,1*0,2
ЭД ₌_1 _1п 1,12
где
« Г ' (4.57а)

s(r) _ ^ко(хд
5_C ~K(xr_cy
Для совершенных скважин, работающих в условиях более слож­ных фильтрационных схем, решение (4.57) сохраняет свой вид, но коэффициент^ имеет отличные значения.
На использовании этих результатов мы остановимся в гл. 5. Пока же отметим, что важнейшим достоинством операционного метода является его интегральная приро­да, обеспечивающая свертку и усреднение информации по временной координате. Кроме того, достигается высо­кая степень верификации результирующих зависимостей и, соответственно, способов обработки опытных данных для разнообразных расчетных схем.
ПРИМЕР. Используем операционный метод для интерпретации режимных наблюдений, проведенных в паводковый период по створу пьезометров. Последние оборудованы на нижний слой в безнапорном двухслойном пласте. Створ ориентирован вкрест простирания реки, которая может считаться единственной гидродинамической грани­цей (полуограниченный пласт) и на которой задано условие третьего рода (3.56) (см. рис. 2.14).
Найдем сначала решение задачи в изображениях. Преобразуя исходное уравнение (4.6) по Лапласу-Карсону, получаем

(4.60)
Общее решение этого обыкновенного дифференциального урав­нения с постоянными коэффициентами имеет вид [16 ]
А77 = Cj exp

Так как Л Н ^,=0, тоС₂ = 0. Значение С_} найдем из второго
граничного условия (при х^ш 0), которое в изображениях имеет вид (см. формулу (3.56)):
а (АН) _А#_р-А#_г
(4.62)
дх х—0 AL
где исходные функции-оригиналы АН_р и АН_г представляют собой
изменения уровней на внешней (в реке) и внутренней (в пласте) гра­ницах кольматационного слоя. После элементарных преобразований, исключающих величину А Н_г, окончательно получаем:
Д#= —7-г^Р— ехр
1+Д L^^^V\ Щ;)' (4.63)
Теперь, подсчитывая изображения от замеренных функций АН и АН , можно определить неизвестные параметры а и AL. Так,
(АЪ\
строя график связи In \~лг& для группы пьезометров, мы должны
получить прямую линию, угсш наклона СС которой к оси х дает значе­ние коэффициента уровнепроводности Vfl/ » ctg СС. Затем по отрез­ку Ь, отсекаемому на оси ординат, определяется параметр AL : 6 = ln(l + AL/\at\ Прямолинейность построенного гра­фика, которая должна наблюдаться для любых выбранных значений параметра преобразования является важным диагностическим признаком — свидетельством справедливости принятой расчетной схемы. При малом числе пьезометров (например, два) приходится ориентироваться на другой способ интерпретации. Сначала по отно-
АН_{ ^x2~~^xi шению = ехр ~ определяется коэффициент уровнепро­водности, а затем по известному значению АН для одного из пьезо­метров вычисляется параметр AJL Важный диагностический при­знак в этом случае — постоянство расчетных значений параметров при различных значениях параметра преобразования t.

3.