В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

8 Рпр
рр
_НР=—ПР-+_2п
^пР о • д Р

° Гпр ' 'Ч' \е> ГС
+ ^zp⁼pHc-^zp^AP’
/
Так как на границе раздела гидростатическое давле­ние пресных вод Р_пр должно — по условию равновесия - равняться давлению соленых вод Р_с, то
гдер_с, р_пр — плотности соленой и пресной воды ;
— _ Р С . д — _ Рс Рщ>
Р О ’ Р Р
гпр гпр

Рис. 6.2. Схема интру­зии соленых вод в на­порный (а) и безна­порный (б) горизон­ты пресных вод

Так как движения в соленой воде нет, то Н_с - Н*!= const, и, следовательно,

dH* dz„
i/f =
q = -k(m.-z_p)b.f>-^^e_x
Тогда
dx ’ dx
Разделяем переменные и интегрируем:

V HI
т.е. линия раздела является параболой:
z_p = т — VT-д х/(к Ар) .
Можно показать [6], что этот результат хорошо опи­сывает процесс при достаточно болыпихх, т.е. при боль­шой длине «языка» в сравнении с мощностью пласта.
ЗАДАЧА. Рассмотрите аналогичную задачу в безнапорном вари­анте (см. рис. 6.1,6). Докажите, что в каждом расчетном сечении справедливо соотношение А_с Ар — h_np, где h_c и h_np — глубина зале­гания соленых вод и превышение уровня пресных вод относительно уровня океана. Покажите, что эта формула выводится и непосредст­венно из соображений гидростатики (на примере системы сообщаю­щихся сосудов). Объясните причину совпадения результатов при двух принятых подходах к выводу этой зависимости (обратите вни­мание, что фильтрация считается плановой).
Из формулы (6.2) при z_p = 0 получаем длину «языка» соленых вод:

(6.3)
где 1₀— градиент потока пресных вод за пределами
«языка».
Если принять характерное для морских вод значение р_с - 1,03 г/см³, когда Ар= 0,03, то расчетная длина «язы­ка» соленых вод может реально достигать стократной мощности водоносного пласта, т.е. измеряться первыми километрами и даже десятками километров.
ВОПРОС. Почему длина «языка» соленых вод может существен­но изменяться в зависимости от времени года?
ЗАМЕЧАНИЕ. При выводе формулы (6.2) мы исходили из ра­венства давлений по обе стороны от поверхности раздела. Полезно отметить, что на поверхности раздела двух несмешивающихся жид­костей существует разрыв давлений, обусловленный разницей сил

поверхностного натяжения (см. раздел 1.3): давление в несмачиваю­щей жидкости больше, чем в смачивающей. Эту разницу — капил­лярное давление на границе раздела, возрастающее по мере увели­чения относительного насыщения порового пространства несмачива­ющей жидкостью, обычно необходимо учитывать при взаимном вы­теснении и особенно в совместных течениях двух несмешивающихся жидкостей или при многофазных течениях (как это делается, напри­мер, в теории влагопереноса — см. раздел (6.8).
В более общих случаях динамического равновесия необходимо учитывать движение не только пресных, но и соленых вод, а также самой границы раздела. При этом поток в каждой области определяется законом Дарси, записанным в общем виде (1.59), причем значения напо­ров Н_пр и Н_с дифференцируются для каждой области, аналогично рассмотренному примеру (однако Н_с * const). Впрочем, более удобным оказывается использование зна-
чений напоров Н_пр и Я_с, приведенных к одной плотности
Z и ^Н1
р₀; например, если принять р₀ = р_пр, то
я° =—■£—+2, я"=-"^e—+pz ^пр Рпр '8 Рпр S ^и
ЗАМЕЧАНИЕ Для оценок значенийр (в г/см³) по общей мине­рализации воды С (в г/см ) можно использовать приближенную ли­нейную зависимость [12]:
Р⁼Рпр+^Яс’ (6.4)
где А ~ 0,65+0,7.
Функции Н_пр и Я®(каждая — в своей области) должны удовлет­ворять уравнению Лапласа (2.8) (режим движения считаем жест­ким) и конкретным условиям на внешних границах пласта. На по­движной поверхности раздела, где значения приведенных напоров
терпят разрыв (например, при р ==p_re/j, имеем: Н®— Н®_р — Ар2),
должно соблюдаться равенство не только давлений, как в приведен­ном выше примере, но и нормальных составляющих скорости филь­трации. Следовательно, согласно закону Дарси (1.59), для точек границы раздела необходимо выполнение условия

(6.5a)

Pnp &ⁿ Pc <*ⁿ ’
dn l*с дп ’
где n — нормаль к поверхности раздела;
k_Q — коэффициент проницаемости;
(I — коэффициент вязкости.
Из-за того, что граница раздела подвижна и положение ее зара­нее не задано, непосредственное аналитическое исследование такого рода задач связано с большими трудностями, и обычно приходится ориентироваться на физическое (для простейших методических за­дач) или математическое моделирование. При этом для потоков не слишком большой мощности (много меньшей длины языка соленых вод) в областях и пресной, и соленой воды может, как обычно, счи­таться справедливой расчетная модель плановой фильтрации. В та­кой приближенной постановке удается найти хотя бы ориентировоч­ные оценки для сложных процессов переноса разновесомых жидко­стей.
Так, например, в фильтрационных лотках изучалась скорость распространения «языка» соленых вод, вытесня­ющих пресные воды из бассейна с горизонтальным поло­жением свободного уровня, т.е. в условиях, когда разница плотностей двух жидкостей (наличие плотностного гра­диента) является единственным фактором переноса. На основании обработки ряда экспериментов подтверждена следующая зависимость длины «языка» от времени [34]:
(6.6)
где t — время от начала внедрения;
Т — проводимость пласта;
rj — численный коэффициент, rj«1,6.
Отсюда нетрудно увидеть, что в реальных условиях скорости перемещения языка соленых вод — даже при отсутствии дополнительного фильтрационного потока, способствующего переносу, — могут измеряться сотнями метров в год.
Особенно велика роль плотностной конвекции в вер­тикальных перемещениях водных масс. Например, благо­даря ей тяжелые стоки, попадающие из загразняющего бассейна на поверхность водоносного горизонта, быстро распространяются вдоль всей мощности последнего со скоростью [34]
__К АР
^vp п ’ (6.7)
где k_z — коэффициент фильтрации в вертикальном на­правлении;
Др —играет роль градиента, вызывающего вертикаль­ное перемещение (сравните (6.7) с формулой (6.1)).
ЗАДАЧА. В напорный горизонт пресных вод через скважины закачаны промышленные стоки с минерализацией 200 г/л ¹ 0,2 г/см³. Ниже под пластом глин мощностью 5 м, с коэффициентом фильтрации около 10‘³ м/сут и пористостью 40% залегает другой водоносный горизонт, напоры в котором на 0,2 м выше, чем в первом. Будет ли загрязняться стоками нижний горизонт и если да, то через какое время? Как изменится расчетная скорость движения стоков через глины, если принять их мощность равной 10 м?