Va gruppalar, esa ni ga akslantiradigan funksiya bo’lsin

5.1.4. teorema. akslantirish izomorfizm bo’lsin. U holda quyidagi tasdiqlar o’rinli.

(i). akslantirish ham izomorfizmdan iborat.

(ii). gruppa faqat va faqat gruppa kommutativ bo’lgandagina kommutativ bo’ladi.

(iii) Barcha lar uchun bo’ladi.

(iv). gruppa faqat va faqat gruppa buralishsiz bo’lgandagina buralishsiz bo’ladi.

(v). gruppa faqat va faqat gruppa siklik bo’lgandagina siklik bo’ladi.

Isbot. (i). akslantirish inyektiv va syu’rektiv bo’lganligi uchun, ham inyektiv va syu’rektiv bo’ladi. Endi ning gomomorfizm ekanligini ko’rsatamiz. bo’lsin, u holda shunday elementlar mavjudki, bo’ladi. Bu yerdan larni hosil qilamiz. bo’lganligi uchun tenglik o’rinli bo’ladi. Bu esa akslantirish gomomorfizm ekanligini ko’rsatadi. Demak, ham izomorfizmdan iborat ekan.

(ii). Faraz qilaylik, kommutativ gruppa bo’lsin. bo’lsin. akslantirish ga syu’rektiv akslantirish bo’lganligi uchun shunday elementlar mavjudki, bo’ladi. Bu yerdan tenglikni hosil qilamiz. Bu esa ning kommutativ ekanligini ko’rsatadi. Endi, teskarisi, kommutativ bo’lsin. bo’lsin, u holda bo’ladi. ning inyektivligidan ni hosil qilamiz. Bu esa ning kommutativligini ko’rsatadi.

(iii). bo’lsin. Induksiyaga asosan barcha musbat butun sonlar uchun tenglikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. ning inyektivligidan barcha elementlar uchun tenglik faqat va faqat bo’lgandagina o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Demak, faqat bo’lgandagina tenglik o’rinli bo’ladi. Bu yerdan faqat chekli tartibli bo’lgandagina ham chekli tartibli bo’lishi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, bo’lsin. U holda bo’ladi, bu yerdan 2.1.28-teoremaga asosan ning ga bo’linishi kelib chiqadi. Xuddi shunday dan kelib chiqadi. Bu yerdan esa ning ga bo’linishi kelib chiqadi. va lar musbat sonlar bo’lganligi uchun bu hol faqat bo’lgandagina o’rinli bo’ladi.

(iv). Bu bandning isboti (iii) banddan bevosita kelib chiqadi.

(v). Faraz qilaylik, siklik gruppa bo’lsin. U holda biror uchun bo’ladi. bo’lganligi uchun tortilgan siklik gruppa bo’ladi. akslantirish ga syu’rektiv akslantirish bo’lganligi uchun shunday mavjudki, bo’ladi. Lekin, biror da bo’ladi. Shunday qilib, bo’ladi. Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Tasdiqning teskarisi ning ham izomorfizm ekanligidan kelib chiqadi. Teorema to’liq isbot bo’ldi.

Ikkita gruppaning algebraik nuqtai nazardan bir-biridan farqlanmasligini his qilishni rivojlantirish uchun ikkita va to’plamlarni qarab chiqamiz. Bu to’plamlardan ni ga akslantiradigan inyektiv va syu’rektiv funksiya mavjud bo’lsin. Bu holda nazariy-to’plamlar tushunchasi bo’yicha va to’plamlar ta’siri ostida bir xil bo’ladi.