Va gruppalar, esa ni ga akslantiradigan funksiya bo’lsin

Ta’rif 5.1.3. akslantirish gruppaning gruppaga gomomorfizmi bo’lsin. gomomorfizmning yadrosi deb



to’plamga aytiladi.

bo’lganligi uchun bo’ladi.

Misol 5.1.4. akslantirishni barcha lar uchun tenglik bilan aniqlaymiz. ning aniqlanishidan uning syuryektivligi kelib chiqadi. bo’lsin. U holda

.

Demak, akslantirish gruppani gruppaning ustiga gomomorfimidan iborat ekan. Bu gomomorfizmning yadrosini topamiz:

.

Bu misol trivial bo’lmagan chekli gruppa cheksiz gruppaning gomomorfizmdagi obrazi bo’lishi mumkinligini ko’rsatadi. 5.1.2 teoremaning (v) bandiga asosan kommutativ bo’lmagan gruppa kommutativ grupaning obrazi bo’la olmaydi. Quyidagi misol esa ikkita bir xil tartibli chekli gruppalar uchun gomomorfizm mavjud bo’lmasligi mumkinligini ko’rsatadi.

Misol 5.1.5. Quyidagi 16 tartibli additiv gruppalarni qaraymiz:

,

.

Faraz qilaylik, gruppaning gruppaga s’yurektiv gomomorfizm mavjud bo’lsin. elementni olamiz, uning tartibi dan iborat. akslantirish gruppaning ustiga gomomorfizmdan iborat bo’lganligi uchun shunday element mavjudki, bo’ladi. 5.1.2 teoremaning (vi) bandiga asosan tartib ning bo’luvchisidan iborat. bo’lganligi uchun va gruppa faqat 1, 2 va 4 tartiblarga ega bo’lganligi uchun tartib ning bo’luvchisidan iborat bo’lmaydi. Bu esa ziddiyatdan iborat. Demak, gruppaning gruppaga gomomorfizm mavjud emas.