Vakuumdagi elektrostatik maydon uchun Gauss teoremasi va uning sodda elektr maydonlarini hisoblashda qo‘llanilishi. Elektrostatik maydon kuchlarining bajargan ishi

Vakuumdagi elektrostatik maydon uchun Gauss teoremasi va uning sodda elektr maydonlarini hisoblashda qo‘llanilishi. Elektrostatik maydon kuchlarining bajargan ishi.
Reja.
1. Tekis zaryadlangan cheksiz to‘g‘ri chiziqli tola maydonining kuchlanganligi.
2. Tekis zaryadlangan cheksiz tekislikning maydon kuchlanganligi.
3. Ikkita turli ishorali zaryadlangan cheksiz parallel tekislik orasidagi maydon kuchlanganligi.

1. Tekis zaryadlangan cheksiz to‘g‘ri chiziqli tola maydonining kuchlanganligi. Dastavval bu tola maydonining ko‘rinishi qanday ekanini aniqlaylik. Zaryadlangan tolani fikran cheksiz ko‘p sondagi nuqtaviy zaryadlarga bo‘lamiz , , ..., elektr zaryadlar maydonining shu zaryadlarni o‘rab turgan yopiq sirt orqali kuchlanganlik oqimini aniqlaylik (152-rasm). Bunda, agar oqim sirtning ichiga yo‘nalgan bo‘lsa, uni manfiy deb va aksincha yo‘nalgan bo‘lsa, musbat deb olamiz.


Dastlab radiusli sferik sirt uning markazida turgan bitta zaryadni o‘rab turgan holni ko‘raylik formulaga muvofiq butun sferada maydonning kuchlanganligi bir xil bo‘ladi:
.
Kuch chiziqlari radiuslar bo‘ylab, ya’ni sfera sirtiga perpendikulyar yo‘nalgan. Bu kuchlanganlik oqimi ni hisoblashda (7) formulani qo‘llash imkonini beradi:
,
bu erda – sferik sirtning yuzi.
Endi sferani ixtiyoriy yopiq sirt bilan o‘raymiz. 153-rasmdan ko‘rinib turganidek, sferaii yorib kirayotgan har bir kuch chizig‘i bu sirtni ham yorib kiradi. Binobarin, (10) formula faqat sfera uchungina emas, balki har qanday yopiq sirt uchun o‘rinli ekan.
Endi zaryadni o‘rab turgan ixtiyoriy sirg bo‘lgap umumiy holga qaytaylik (152-rasmga qarang). Bu sirt orqali kuchlanganlik oqimi zaryadlardan har birining hosil qilgan oqimlari yig‘indisiga tekg bo‘lishi ravshan:

yoki, nihoyat,
.
SHunday qilib,
elektr zaryadlarni o‘rab turgan ixtiyoriy yopiq sirtni yorib o‘tuvchi kuchlanganlik oqimi o‘rab turilgan zaryadlarning algebraik yig‘indisiga proporsional bo‘ladi.
Bu qoida Ostrogradskiy-Gauss teoremasi deyiladi*.


Ostrogradskiy-Gauss teoremasining katta amaliy ahamiyati bor: uning yordamida zaryadlangan turli shakldagi jismlar hosil qilgan maydonlarning kuchlaiganligini aniqlash juda oson. Bir necha misolki ko‘rib chiqamiz.
Biror nuqtadan tolaga perpendikulyarni tushiramiz. Ravshanki, va nuqtaviy zaryadlar ga nisbatan simmetrik va nuqtada tolaga perpendikulyar yo‘nalgan kuchlanganlikni hosil qiladi. Butun tola ga nisbatan nuqtaviy simmetrik zaryadlar juftlaridan iborat bo‘lgani uchun, maydonning nuqtadagi natijaviy kuchlanganligi chiziq bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Boshqacha aytganda, nuqtada mavjud bo‘lgan kuch chizig‘i toladan chiqqan va unga perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziqdir*.
Tolani o‘rab turgan fazoning boshqa nuqtalari uchun ham shunga o‘xshash mulohazalar yuritib, mana bunday xulosaga kelamiz: tekis zaryadlangan cheksiz to‘g‘ri chiziqli tolaning elektr maydoni tolaga perpendikulyar bo‘lgan radial kuch chiziqlari bilan tasvirlanadi CHekli tolaning maydoni ham shunday ko‘rinishda bo‘ladi; chekli tolaning ikki uchi atrofidagina bunday ko‘rinish buziladi.
Endi toladan masofadagi biror nuqtada tola maydoni kuchlanganligi kattaligini aniqlaymiz Tolaning chiziqli zaryad zichligi (ya’ni uzunlik birligiga to‘g‘ri keladigan zaryad) ta teng bo‘lsin. Tola uzunligining qismini o‘qi tola bilan ustma-ust tushgan, yon sirtida esa nuqta bo‘lgan silindr bilan o‘raymiz. Osgrogradskiy-Gauss teoremasiga muvofiq, bu silindrning sirti orqali o‘tgan kuchlanganlik oqimi quyidagiga teng:

bu erda – tolaning silindr bilan o‘ralgan qismining zaryadi. Ikkinchi tomondan, (7) formulaga muvofiq,


,
bu erda – silindr yon sirtining yuzi. munosabatlarning o‘ng qismlarini bir-biriga tenglab quyidagini olamiz:
.
Binobarin, tola maydonining kuchlanganligi masofaniig birinchi darajasiga teskari proporsional ekan.