Variatsion hisob asosiy masalasining ba’zi umumlashmalari reja: Kirish. Asosiy qism

3. Bir necha o’zgaruvchili funksiyalarga bog’liq bo’lgan funksionallar.
3.1.Masalaning qo’yilishi.Soddalik uchun , ikki o’zgaruvchili funksiyaga bog’liq funksional uchun qo’yilgan,
(23)
funksionalning yekstremumini , sohada aniqlangan (uzluksiz va o’zining har bir argumenti bo’yicha uzluksiz birinchi tartibli hosilalarga ega bo’lgan ) va (24)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi joiz funksiyalar sinfida topish haqidagi, variatsion masalani qaraymiz, buyerda sohaning chegarasi, - berilgan funksiya.
Integral tagidagi funksiya(integrant) o’zining argumentlari bo’iyicha ikkinchi tartibgacha uzluksiz xususiy hosalarga yega bo’lsin , deb faraz qilamiz.
3.2. Funksionalning birinchi variasiyasini topish.Bu yerda ham yuqoridagi shatlarda (23) funksionalning birinchi variatsiyasi uchun formula keltirib chiqaamiz. Buning uchun , variatsion hisob asosiy masalasidagiga o’xshash,
(25)
bir parametirli sirtlar oilasini qarqymiz va unda aniqlangan (26)
funksionalni qaraymiz.
(23) funksionalga kuchsiz ekstremum beruvchi sirt bo’lsin.
Quyidagi,
(27)
belgilashlarni kiritamiz va
(28)
ifodani hisoblaymiz. Farazimizga ko’ra, (4) funksionalda integrallash va parametr bo’yicha diferensiallash amallarining o’rnini almashtirish mumkin bo’lganligidan, birinchi variatsiya formulasi,
(29)
ko’rinishni oladi, - funksiyaning variatsiyasidir
3.3. Ekstremumining zaruriy sharti. Eyler-Ostrogradskiy teglamasi.
Ma’lumki, agar funksiya ekstremal bo’lsa, ixiyoriy variatsiya uchun,
(30)
munosabat o’rinli bo’ladi. Oxirga munosabatning chap tomonidagi ikkinchi va uchunchi qo’shiluvchilarning shaklini o’zgartiramiz. Buning uchun,
ifodalardan
ifodalarni olamiz va (30) munosabatga keltirib qo’yamiz:
.
Oxirgi munosabatdagi ikkinchi integralda ikki karrali integralni egri chiziqli integral orqali ifodalash formulasi- Grin formulasi
(31)
dan foydalanib va (24) chegaraviy shartlardan, ekanligini hisobga olib, (30) shartni,
(32)
ko’rinishda yozamiz. Bunda h(x,y) variatsiyaning ixtiyoriyligidan, Lagranj lem- masining, ikki karrali shitegral uchun umumlashmasi barcha shartlari o’rinli bo’lganligidan, (32) ifodaning chap tamonidagi o’rta qavs ichida ifodaning D to’plamning barcha nuqtalarida aynan nolga teng bo’lishini olamiz. Demak ,(23) funksional ekstremumga erishadigan funksiya quyidagi, (33)
tenglamani qanoatlantirishi zarur. (33) tenglama, Eyler – Ostrogradskiy tenglamasi deyiladi va u ikkinchi tartibli xususiy hosilasi diffe rensial tenglamadan iborat,bunda



Matematik fizika tenglamalari kursida (33) tenglamaning (24) chegaraviy shartlarni qanoatlantruvchi echimini topish masalasi –Dirixle masalasi deb ataladi.
Funksional uch yoki undan ko’p o’zgaruvchili funksiyaga bogliq bo’lganda ham Eyler- O strofadskiy teglamasini keltirib chiqarish mumkin .
3.4. misol. Ushbu

funksional uchun Eyler-Ostrogradskiy tenglamasini yozing.
E ch i l i sh i. Berilgan funksional ikki o’zgaқuvchili funksiyaga bogliq bo’lib, unda bo’lganligidan, va Eyler-Ostrogradskiy tenglamasi
,
yoki, Laplas teglamasidan iborat. Ma’lumki, uning echimlari garmonik funksiyalar deb ataladi.