Variatsion hisobning predmeti. Funksionalning ekstremumi Reja

Variatsion hisobning predmeti. Funksionalning ekstremumi
Reja:

1. 
   Variatsion hisobning klassik masalalari. Variatsion hisob predmeti.
   
2. 
   Asosiy funksional fazolar.
   
3. 
   Chiziqli va kvadratik funksionallar. Funksionalning variatsiyalari.
   
4. 
   Funksionalning ekstremumi. Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari.
   

Tayanch iboralar: Braxistoxrona, geodezik chiziq,izoperimetrik shart, funksional, uzluksizlik, differensiallanuvchanlik, funksional fazo, norma, metrika, yaqinlik tartibi, в-atrof chiziqli va kvadratik funksionallar, variatsiya, variatsion masala, global va lokal ekstremumlar,
ekstremumning zaruriy sharti, yetarli shart.
Matematikada, tabiiy va texnik fanlarda, iqtisodiyotda va boshqa sohalarda uchraydigan ko'pgina amaliy masalalar cheksiz o'lchovli funksional fazolardagi ekstremal masalalarga olib keladi. Bunday masalalar bilan klassik variatsion hisob va optimal boshqaruv masalalari bo'limlarida tanishamiz.
Ushbu va bundan keyingi bir necha ma’ruzalarimiz variatsion hisob masalalariga bag’ishlanadi.

50. 
    Variatsion hisobning klassik masalalari. Variatsion hisob predmeti.
    

Dastlab variatsion hisob predmetini yaxshiroq anglab olishga imkon beruvchi hamda matematikada bu yo'nalishning paydo bo'lishi va rivojlanishida muhim ahamiyatga ega bo'lgan masalalardan quyidagilarni keltiramiz.
Braxistoxrona haqidagi masala. 1696 yilda I.Bernulli tomonidan
qo'yilgan bu masalada bir vertikal to'g'ri chiziqda yotmagan ikkita A va В nuqtalarni tutashtiruvchi shunday chiziqni topish talab qilinadiki, material nuqta o'z og'irlik kuchi ta’siri ostida shu chiziq bo'ylab harakat qilib, A nuqtadan В nuqtaga eng qisqa vaqtda yetib kelsin (1-chizma).
Masalaning nomi grekcha “braxistos” -eng qisqa, “xronos” -vaqt so'zlaridan kelib chiqqan.
Braxistoxrona haqidagi masalani hozirgi zamon matematikasi tilida ifodalash uchun to'g'ri burchakli 0xy kooordinatalar sistemasini 1- chizmada ko'rsatilganidek, ya’ni 0 y o'qni pastga yo'naltirib, qaraymiz. A nuqtani koordinatalar boshiga joylashtiramiz. В nuqtaning koordinatalari (Xi,yi) bo'lsin.
A ( 0,0 ) va В (x ,y₁ ) nuqtalarni ixtiyoriy y = y (x) silliq chiziq bilan tutashtiramiz.
Shu chiziq bo'ylab og'irlik kuchi ta’sirida harakatlanuvchi material
nuqtaning massasi m ga, t vaqt momentidagi tezligi v ga teng bo'lsin. U
^holda, ^{t vaq}t^{da haraka}t^dagi n^uqt^anin^g k^tik ^energiyasi К = ^m,
potensial energiyasi P = — mg у bo'ladi, bu yerda g~9. 8 m/c² -erkin
tushish tezlanishi o'zgarmasi. Fizikadan yaxshi ma’lum bo'lgan
energiyaning saqlanish qonuniga ko'ra,
mv^2
mgy+ — = ⁰
tenglikni olamiz. Bu yerdan v = ^2gy . Endi
v = —, ds = Jdx¹ + dy², dy = y'dx
dt ^y
Demak, у (%) chiziq bo'ylab A nuqtadan В nuqtaga ko'chish uchun sarflangan T = T [ у] vaqt uchun


⁷¹ y^]=F
oV ² gy
ifodaga ega bo'lamiz. (1.1) ko'rinishdagi T=T[ у] miqdor
у = у(x), x e[0,x₁] uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar fazosida
aniqlangan bo'lib, braxistoxrona haqidagi masala esa, T[ у] funksionalning
у(0) = 0, у( x₁) = у₁ shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz differensiallanuvchi
funksiyalar to’plamida minimumini topish masalasidan iboratdir. Bu masala I.Bernulli, I.Nyuton, G.Leybnislar tomonidan yechilgan bo'lib, eng tez o'tish (sirpanish) chizig'i sikloida deb ataluvchi chiziqdan iborat bo'lar ekan (bunga biz keyinroq ishonch hosil qilamiz).