Variatsion hisobning predmeti. Funksionalning ekstremumi Reja

ta’rif: Agar W chiziqli normalangan fazoda berilgan J[y]

funksionalning AJ orttirmasi uchun,
J[ y + h] - J[ y] = L[ y, h] + 3[ y, h] (1.16)
yoyilma o'rinli bo'lib, bunda L[y,h] -b ga nisbatan chiziqli funksional, 3[y, h] esa, ||h|| ^ 0 da 3y,h]/||h\\ ^ 0 munosabatni qanoatlantirsa , J[y] funksional y ■ w nuqtada differensiallanuvchi yoki birinchi variatsiyasiga ega deyiladi.
(1.16) yoyilmaning bosh qismidan iborat L[y,h] ga esa, J[y] funksionalning birinchi variatsiyasi deyiladi va u 5J = 5J[y, h] kabi belgilanadi: 5J = L[y,5y].
Keltirilgan ta’rif bo'yicha variatsiyaga ega funksionallarga adabiyotlarda Freshe ma’nosida (yoki kuchli ma’noda) differensiallanuvchi funksionallar ham deyiladi.
1.6-ta’rif: W chiziqli normalangan fazoning y elementi va uning
ixtiyoriy h ■ W elementi uchun, funksionalning AJ orttirmasi,
J[y+h] - J[y] = LJy, h] +1 LJy h] + 31(y, h) (1.17)
ko’rinishdagi yoyilmaga ega bo'lsin, bu yerda L[y,h]-h ga nisbatan chiziqli fnuksional, L[y, h] esa, 5y ga nisbatan kvadratik funksional,
з,ст, A)di hl ’ ^ 0, h ^ 0.

U holda, J [ y] funksional у cW nuqtada ikkinchi variatsiyaga ega deyiladi. h ga nisbatan kvadratik funksional L[У, h] esa, J[y] funksionalning ikkinchi variatsiyasi deyiladi hamda bu variatsiya o' = o' J[у, h] kabi belgilanadi: S² = L [у, h].

ko'rinishda bo’ladi. Demak,yuqorida keltirilgan ta’riflarga ko'ra,
SJ = J 2у( xjhdx, S² J = J 2h²dx
^x0 ^x0
Funksionalning Freshe bo'yicha kuchli ma’noda
differensiallanuvchiligi bilan bar qatorda Lagranj bo'yicha kuchsiz ma’noda differensiallanuvchiligi tushunchasi ham mavjud.
W chiziqli normalangan fazoning biror V to'plamida aniqlangan J[y] funksional berilgan bo'lsin. V to'plam yoki M(у) = {hcW:у+h cV} to'plam W ning chiziqli qism fazosi bo'lsin.