Vektorlar va ular ustida amallar

Misol 364. va vektorlar berilgan :
1) va vektorlarning vektor ko’paytmasini toping;
2) hosil bo’lgan vektorning uzunligini toping;
3) va vektorlarning hosil bo’lgan vektorga perpendikulyarligini ko’rsating;
4) va vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuzuni toping.
Yechilishi.

1)
2)
3)

4)
Uch vektorning aralash ko’pAytmasi
Ikkita vektorning vektor ko’paytmasi uchinchi vektorga skalyar ko’paytirilsa, uch vektorning aralash ko’paytmasi hosil bo’ladi:
(23)
Uch vektorni aralash ko’paytirishdan hosil bo’lgan son, bu vektorlarga qurulgan parallelepipedning hajmini ifodalaydi.
Agar uchta vektor koordinatalari bilan ko’rinishda berilgan bo’lsa, ularning aralash ko’paytmasi
(24)
formula yordamida topiladi.
Misol 365. vektorlarga qurilgan parallelepipedning hajmini toping.
Yechilishi. (24) ga asosan

Tetraedr uchlarining koordinatalari bilan berilgan:

U holda

Tetraedrning hajmi bir nuqtadan chiqqan uchta vektorga qurulgan parallelepiped hajmining qismiga teng bo’lgani uchun (24 ) ga asosan
(25)
bo’ladi.
Bu hajmni quyidagi formula yordamida ham topish mumkin:
(26)
Misol 366. vektorlarga qurulgan tetraedr berilgan. Quyidagilarni toping:

1. 
   tetraedrning hajmini;
   
2. 
   ABC yoqning yuzuni;
   
3. 
   D uchudan tushirilgan balandlikni;
   
4. 
   AB va AC qirralar orasidagi burchak kosinusini;
   
5. 
   ABC va ADC yoqlar orasidagi burchak kosinusini.
   

Yechilishi.

2)
3)
4)

5. 
   ABC va ADC yoqlar orasidagi burchak, ularning normal vektorlari orasidagi burchakka teng bo’ladi.
   

ABC yoqqa perpendikulyar vektor

ADC yoqqa perpendikulyar vektor

U holda

Demak, yoqlar perpendikulyar ekan.