Vektorlar va ular ustida amallar

2-2-§.VEKTORLARNING O‘QQA PROEKSIYASI
Vektorning o'qqa proeksiyasi vektorning yo'nalishiga qarab musbat, manfiy yoki nolga teng bo'lgan son bo'lib, vektorning l o'qqa proyeksiya quyidagicha aniqlanadi: (7-chizma)

Agar bo'lsa, A va В nuqtalarning l o'qdagi ortogonal proeksiyalarini mos ravishda A’, В 'bilan belgilaymiz. A 'B ' kesmaning l o'qdagi kattaligi vektorning l o'qdagi proeksiyasi deb ataladi. Proeksiya uchun

tenglik o‘rinli bo'lib, bu yerda (p -berilgan a vektor vag o‘q orasidagi burchakdir.
Proeksiyaning xossalari:
1. λ R
2.
Isbot. 1. Birinchi tenglikni isbotlash uchun quyidagi hollarni qaraymiz:
a) λ = 0 bo'lsa λ = 0 tenglik o'rinli bo'ladi va natijada А' = В ' munosabatdan
va = 0
tengliklar kelib chiqadi.
b ) λ > 0 bo'lsa, munosabatdan tenglik kelib chiqadi;
bu yerda va mos ravishda va vektorlarning l o'q bilan hosil qilgan burchaklaridir. Bu holda │λ │ = λ│ │ va demak

в) λ <0 bo'lsa, va vektorlar uchun munosabat o'rinli bo'ladi. Shuning uchun tenglikdan quyidagi munosabat kelib chiqadi:

2. . tenglikni isbotlashni keyinroqqa qoldirib, skalyar ko'paytmani o'rganishga o'tamiz.

2-3-§. BAZIS VA VEKTORNING KOORDINATALARI
Ta’rif. Berilgan vektorlar oilasi chiziqli erkli bo'lib, ixtiyoriy vektorni ulaming chiziqli kombinatsiyasi ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lsa, bu oila bazis deyiladi.
Quyidagi muhim faktlar o'rinlidir:
1-xossa. Bir tekislikda yotuvchi vectorlar uchun har qanday ikkita nokollinear vektorlar bazisni tashkil qiladi.
2-xossa. Fazoda yotuvchi vectorlar uchun har qanday uchta nokomplnar vektorlar bazisni tashkil qiladi.
Bu xossalarning birinchisi 1- teoremaning bevosita natijasidir.
Ikkinchi xossani isbotlaymiz:

Bizga uchta nokomplanar vektorlar berilgan bo'lsin. Ikkinchi punktda isbotlagan teoremaga ko'ra ular chiziqli erkli oilani tashkil qiladi. Endi ixtiyoriy vektorni olib, uni vektorlar orqali chiziqli ifodalash mumkinligini ko'rsatamiz. Buning uchun vektorlarning boshlarini О nuqtaga joylashtiramiz va vektorning oxiridan vektorlar tekisligiga, vektorlar tekisligiga va vektorlar tekisligiga parallel tekisliklar o'tkazamiz. O'tkazilgan tekisliklarning vektorlar yotgan to'g'ri chiziqlar bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda A,B,C harflar bilan belgilaymiz.Vektorlarni qo'shish qoidasiga ko'ra

tenglikni olamiz. Bu yerda vektorlar mos ravishda vektorlarga kollinear bo'lganligi uchun shunday λ, μ, ʋ sonlar mavjudki
, ,
tengliklar o'rinli bo'ladi. Bu tengliklami hisobga olib
+
tenglikni olamiz.
Ta’rif. Bizga bazis berilib, vektor uchun

tenglik o'rinli bo'lsa, { } sonlar a vektorning koordinatalari deyiladi.

б-xossa. Har bir vektor berilgan bazisda o'zining koordinatalari bilan yagona ravishda aniqlanadi.
Berilgan vektor uchun ikkita

tengliklar o'rinli bo'lsa ulaming birini ikkinchisidan hadma-had ayirib

tenglikni hosil qilamiz.