Векторное и смешанное произведение векторов

Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещённых началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость - единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещённых началами в точке . Тогда можно в плоскости провести через концы векторов , совмещённых началами в точке , единственную окружность и выяснить направление обхода трёх точек на окружности, смотря на неё с одной из сторон от плоскости.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой от плоскости , обход концов приведённых в общее начало векторов в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости по часовой стрелке. В этом случае наблюдателю, находящийся с другой стороны от плоскости , обход концов таких векторов будет казаться совершающимся против часовой стрелки.
B противном случае — левая тройка.
Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.
Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Заметим, что для двух данных векторов рассматриваемого пространства определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

3.1. Геометрические свойства векторного произведения

Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна векторному произведению.

Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.

• 
  Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
  
• 
  Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и (см. Рисунок 1)
  
• 
  Если  — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка - правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
  

• 
  Если  — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор,  — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к ,  — единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора справедлива формула
  

• 
  При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.
  

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0, если векторы параллельны.