Viet teoremasi. Viet formulalari

Viyet formulalari — koʻphadning koeffitsiyentlarini uning ildizlari orqali ifodalovchi formulalar. Bu formulalar bilan koʻphadning ildizlari toʻgʻriligini tekshirish qulay. Yana bu formulalar yordamida berilgan ildizlar boʻyicha koʻphadni tuzish mumkin. Bu formulalar farang matematigi Fransua Viyet (fransuzcha François Viète, lotinlashtirilgani Franciscus Vieta) nomi bilan ataladi. Viyet formulalari koʻproq algebrada ishlatiladi.
Viyet bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchun aniqlagan. Viyet yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viyet ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari vu uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos. 1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viyet formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.
Viyet formulalarini aslida Albert Girard Viyetdan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viyet formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Fransua Viyetdan oldinroq oʻz asarlarida yozgan.

Asosiy formulalar

n-darajali har qanday koʻphad


P⁡(x)=an⁢xn+an−1⁢xn−1+⋯+a1⁢x+a0{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,} (bu yerda koeffitsiyentlar haqiqiy yoki kompleks son boʻlishi mumkin va a_n ≠ 0) algebraning asosiy teoremasiga koʻra n ta (bir-biridan farqli boʻlishi shart boʻlmagan) x₁, x₂, …, x_n kompleks ildizga ega.
Viyet formulalari koʻphadning koeffitsiyentlarini { a_k } shu koʻphad ildizlarining yigʻindisi va koʻpaytmasi { x_i } bilan quyidagicha qilib bogʻlaydi:
{x1+x2+⋯+xn−1+xn=−an−1an(x1⁢x2+x1⁢x3+⋯+x1⁢xn)+(x2⁢x3+x2⁢x4+⋯+x2⁢xn)+⋯+xn−1⁢xn=an−2an⋮x1⁢x2⁢…⁢xn=(−1)n⁢a0an.{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}
Boshqacha qilib aytganda, a_n−k (n − k) inchi koeffitsiyenti ildizlarning barcha mumkin boʻlgan koʻpaytmalarini har safar k ta olingan yigʻindisiga quyidagicha bogʻlangan:
∑1≤i1Bu yerda k = 1, 2, …, n. Bu yerda yana i_k indekslarini oʻsib borish tartibida yozamiz. Chunki ildizlarning har bir koʻpaytmasi faqat bir marta yozilishi kerak. Viyet formulalarining chap tomoni ildizlarning elementar simmetrik funksiyalaridir.