Viet teoremasi. Viet formulalari

Halqalarga umumlashtirish

Viyet formulalari koʻpincha koeffitsiyentlari har qanaqa butunlik oblasti (ingl. -{integral domain}-) R da joylashgan koʻphadlar bilan ishlatiladi. Bu holda ai/an{\displaystyle a_{i}/a_{n}} boʻlaklari R ning ulushlar halqasiga (ingl. -{ring of fractions}-) kiradi. Agar ai/an{\displaystyle a_{i}/a_{n}} R da qaytariluvchi boʻlsa boʻlakalr R ning oʻziga kiradi. xi{\displaystyle x_{i}} ildizlar algebraik yopiq maydonda (ingl. -{algebraically closed field}-) olinadi. Odatda R butun sonlarning halqasidir va kasrlar maydoni ratsional sonlar maydonidir. Algebraik yopiq maydon boʻlsa kompleks sonlar maydonidir. Bu holda Viyet formulalari foydalidir. Sababi, ular ildizlar orasidagi aloqalarini ildizlarni hisoblashsiz bilib olishga yordam beradi.
Butunlik oblasti boʻlmagan kommutativ halqa (yoki abel halqasi) koʻphadlari uchun Viyet formulalarini har doim ham emas, balki ai{\displaystyle a_{i}} lar xi{\displaystyle x_{i}} lardan hisoblangandagina ishlatsa boʻladi. Masalan, 8 modulli butun sonlari halqasida x2−1{\displaystyle x^{2}-1} hoʻphadida toʻrt ildiz bor. Bular 1, 3, 5, 7 dir. Agar x1=1{\displaystyle x_{1}=1} va x2=3{\displaystyle x_{2}=3} boʻlsa, Viyet formulalari toʻgʻri boʻlmaydi.
Viyet teoremasiga teskari teorema oʻrinlidir.
Teorema: Agar x1{\displaystyle x_{1}} va x2{\displaystyle x_{2}} sonlar shunday boʻlsaki, x1+x2=−p{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p}, x1⁢x2=q{\displaystyle x_{1}x_{2}=q} boʻlsa, u holda x1{\displaystyle x_{1}} va x2{\displaystyle x_{2}} lar kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat boʻladi.
Bu teorema bir qator hollarda kvadrat tenglama ildizlarini ildizlar formulasidan foydalanmasdan topishga imkon beradi.

Uchinchi darajali tenglama

A gar
x1,x2,x3{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} hinchi darajali tenglama ildizlari bo’lsa,unda
p⁡(x)=a⁢x3+b⁢x2+c⁢x+d=0{\displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
{x1−x2−x3=ba(x1/x2−x1/x3−x2/x3)=cax1/x2/x3=da{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}-x_{2}-x_{3}={\frac {b}{a}}\\(x_{1}/x_{2}-x_{1}/x_{3}-x_{2}/x_{3})={\frac {c}{a}}\\x_{1}/x_{2}/x_{3}={\frac {d}{a}}\end{cases}}}