Viet teoremasi. Viet formulalari

Isboti

Viyet formulalarini quyidagi tenglikdan foydalanib isbotlash mumkin:

Bu ifoda toʻgʻri, chunki x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} bu koʻphadning barcha ildizlaridir. Isbotlash uchun koʻphadni yoyish kerak. Keyin oʻng tomondagi faktorlarni koʻpaytirsh kerak. Soʻgnra x{\displaystyle x}X ning har bir darajasi koeffitsiyentlarini aniqlash kerak.

ifodasini yoysak, hadlar boʻladi. Bu yerda xi{\displaystyle x_{i}} koʻpaytmaga kiritilgan-kiritilmaganiga qarab bi{\displaystyle b_{i}} yoki 0, yoki 1 boʻladi. k boʻlsa kiritilmagan xi{\displaystyle x_{i}} larning sonidir. Shundan kelib chiqib, koʻpaytmadagi faktorlarning umumiy soni n dir. Bu yerda n ta binar tanlov boʻlgani uchun (xi{\displaystyle x_{i}} ni yoki x ni kiritish) 2n{\displaystyle 2^{n}} ta had bor. Gemoterik jihatdan bu hadlarni giperkub uchlari deb tushunish mumkin.
Bu hadlarni daraja boʻylab guruhlash xi{\displaystyle x_{i}} dagi sodda simmetrik koʻphadlarini chiqaradi. Yaʼni, xi{\displaystyle x_{i}} ning k-karra bir-biridan farqli koʻpaytmalarini beradi.

TARIXI

Viyet formulalari 16-asrda yashagan farang matematigi Fransua Viyet (fransuzcha François Viète, lotinlashtirilgani Franciscus Vieta) nimi bilan ataldi.^[1] Viyet bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchungina aniqlagan. Viyet tenglamaning musbat ildizlari va nomaʼlum qiymatning turli darajalardagi koeffitsiyentlari orasidagi bogʻlanishni aniqlagan.^[2] Viyet yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viyet ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari vu uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos. 1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viyet formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.
Viyet formulalarini aslida Albert Girard Viyetdan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viyet formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Viyetdan avvalroq oʻz asarlarida yozgan. Hutton bunday deb yozadi:

…[Girard was] the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products. He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation.

yaʼni,

…Girard darajalar koeffitsiyentlarini ildizlar yigʻindisi va ularning koʻpaytmasidan tuzish umumiy prinsipini birinchilardan boʻlib anglagan. U birinchi boʻlib har qanday tenglama ildizlari darajalarini qoʻshish qoidalarnini oʻylab topgan.

Viyet tenglama ildizlari vu uning koeffitsiyentlari orasida munosabatlarni qisman angalagan boʻlsa ham, u birinchilarda boʻlib shu bogʻlanishni aniqlagan. Koʻpchilik Viyetning bu formulalarning rivojlanishida qoʻshgan hissasi katta deb hisoblaydi. Shu sabab bu formularni uning nomi bilan atash xato emas.