Временные ряды

2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ СТАЦИОНАРНОСТИ

При проверке гипотезы о постоянстве математического ожидания, интервал времени (1,Т) (и соответственно временной ряд у_t, t=1,2,...Т) разбивается на две части, не обязательно одинаковые по количеству содержащихся в них значений у_t, с количеством наблюдений Т₁ (t=1,2,..., Т₁) и Т₂ (t=Т₁+1,..., Т), Т₂=Т-Т₁.

Для каждой из частей определяются оценки и , и - выборочных математического ожидания и дисперсии переменной у_t соответственно. Далее рассчитывается значение критерия Стьюдента по формуле:

если предполагается, что значения дисперсий на этих участках не равны между собой, т. е. ,

и по формуле

если

Если оказывается справедливым неравенство

  _*  р_* ,), (2.3)

где р_* - заданный уровень доверительной вероятности (р_*=0,95; 0,97...); =Т₁+Т₂-2 - число степеней свободы;

_*р_*,) - критическое значение критерия Стьюдента, соответствующее значениям р_* и . то гипотезу о постоянстве математического ожидания процесса у_t целесообразно принять. Вероятность ошибки такого решения при этом составляет 1-р_*. В противном случае, т. е. при _*р_*,), эта гипотеза отвергается.
Для большей достоверности вывода о постоянстве математического ожидания временного ряда у_t, t=1,2,...,Т интервал наблюдений разделяется на несколько частей (если количество наблюдений достаточно велико). В этом случае проверяется гипотеза о равенстве оценок средних значений ряда, рассчитанных на этих частях. Для этих целей используется критерий Фишера. Его расчетное значение в тесте определяется как отношение взвешенной суммы квадратов отклонений этих оценок от средней временного ряда в целом к средней дисперсии временного ряда:

где n - число частей разбиения интервала (1,Т);

Т_j - число измерений переменной у_t на j-й части; j=1,2,..., n;
- среднее значение временного ряда в целом;
- средняя дисперсия, значение которой рассчитывается на основании следующей формулы: