Временные ряды

3. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ СТАЦИОНАРНОСТИ

Параметрические критерии проверки стационарности достаточно неудобны в практических исследованиях и весьма ограничены в применении из-за своих достаточно строгих предположений относительно нормальности закона распределения временного ряда у_t, t=1,2,... . Они требуют значительных вычислений.

На практике при проверке свойств стационарности процессов часто используются непараметрические критерии, которые не имеют подобных ограничений по закону распределения временного ряда у_t, да и не столь сложны по своим вычислениям.
Вместо критерия Стьюдента может быть использован непараметрический критерий Манна-Уитни (критерий и*). Он чуть слабее критерия Стьюдента в случае временных рядов с нормальным распределением, однако, имеет неоспоримые преимущества по сравнению с параметрическими критериями в случае, если распределение временного ряда отличается от нормального.
Критерий и* применяется для проверки идентичности распределений двух совокупностей (в нашем случае, временных последовательностей одного временного ряда у_t, определенных на разных временных частях интервала t=1,..., Т).
Предположим, что первая совокупность образована Т₁ последовательными значениями у_t, а вторая - Т₂ его последовательными значениями, и эти последовательности не пересекаются.
Все значения этих совокупностей объединяются в один ряд, в котором они располагаются в порядке возрастания с первого по (Т₁+Т₂)-й вне зависимости от принадлежности к той или иной последовательности. Вместе с тем, в этой единой последовательности символом у¹ отмечаются элементы первой последовательности, а символом у² - второй. В результате формируется структурный временной ряд, состоящий из Т₁+Т₂ элементов, в котором символы у¹ (Т₁ элементов) и символы у² (Т₂ элементов) оказываются перемешанными между собой.
Логика теста состоит в следующем. Если ряд стационарный, то последовательности у¹ и у² практически не отличаются одна от другой и их элементы перемешаны между собой. При этом появление каждой из возможных структур имеет равную вероятность. Если же ряд отличается от стационарного, то общая последовательность будет разделена на более или менее однородные массивы, состоящие в основном из единиц той или иной совокупности.
Тест Манна-Уитни осуществляет проверку гипотезы о стационарности временного ряда у_t на основе расчета статистики и* (значения критерия), представляющей собой число случаев, когда элементы из совокупности у¹ предшествуют элементам совокупности у².
Значение и* рассчитывается либо через сумму рангов элементов первой совокупности, либо через сумму рангов элементов второй совокупности, с которыми оно связано следующими соотношениями:

где R₁ и R₂ - суммы рангов элементов первой и второй совокупностей соответственно, определяемых по их общей последовательности.

Для больших последовательностей (Т50; 100) случайная величина и* распределена по нормальному закону с математическим ожиданием

и дисперсией

Таким образом, случайная величина z, определяемая как

является нормированной величиной с нулевым средним и единичной дисперсией, распределенной по стандартизованному нормальному закону, zN(0,1).

В формуле (3.5) поправка 1/2 вводится для обеспечения непрерывности величины z.