Вронский детерминанти. Фундаментал ечимлар системаси режа: Вронский детерминанти

ВРОНСКИЙ ДЕТЕРМИНАНТИ. ФУНДАМЕНТАЛ ЕЧИМЛАР СИСТЕМАСИ
Режа:
1. Вронский детерминанти
2. Ечимларнинг фундаментал системаси
3. Берилган ечимларига нисбатан тенглама тузиш
Таянч сўз ва иборалар: Вронский детерминанти, фундаментал ечимлар системаси
оралиқда аниқланган , , ..., функциялар берилган бўлсин.
1-теорема. Агар , , ..., функциялар оралиқда чизиқли боғлиқ бўлса, шу интервалда Вронский детерминанти

айнан нолга тенг бўлади.
Исбот. оралиқда бир вақтда нолга тенг бўлмаган , ,..., лар учун

айниятга эгамиз. Шу айниятни марта дифференциаллаб, қуйидагини топамиз:
.
Бу ларга нисбатан чизиқли бир жинсли системадир. Бу система нодан фарқли ечимга эга, чунки ларнинг камида биттаси нолдан фарқли. Демак,юқоридаги системанинг детерминанти оралиқда нолга тенг.
2-теорема. Агар чизиқли эркли , , ... , функциялар коэффициентлари оралиқда узлуксиз бўлган чизиқли бир жинсли тенгламанинг ечими бўлса, у ҳолда тегишли Вронский детерминанти интервалнинг бирорта ҳам нуқтасида нолга айланмайди.
Исбот. Вронский детерминанти оралиқнинг бирор нуқтасида 0 га тенг бўлсин дейлик, яъни . Бир вақтда нолга тенг бўлмаган ларни шундай танлаймизки, бу лар ушбу

системанинг ечими бўлсин. Бу системанинг детерминанти . Шунга кўра

функция

бошланғич шартларни қаноатлантиради. Чизиқли бир жинсли тенгламанинг юқоридаги бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечими мавжудлик ва ягоналик теоремасига асосан айнан нол бўлади, демак,
,
яъни лар чизиқли боғлиқ. Бу эса теорема шартига зиддир.Шу билан теорема исботланди.
Эслатма. Чизиқли эркли функциялар тенгламанинг ечими бўлмаса, 2-теорема, умуман айтганда, ўринли эмас.
-тартибли чизиқли бир жинсли тенгламанинг ихтиёрий та чизиқли эркли ечимларини шу тенглама ечимларининг фундаментал ситемаси дейилади.
3-теорема. Коэффициентлари интервалда узлуксиз бўлган ҳар қандай чизиқли бир жинсли тенглама ечимларнинг фундаментал ситемасига эга.
Исбот. Ечимларнинг фундаментал системасини тузиш учун ихтиёрий та сон оламиз, бу сонлар

шартни қанотатлантирсин, бу ерда . Бу ҳолда бошланғич қийматларга эга бўлган ечимлар, яъни , ечимлар ечимларнинг фундаментал системаси бўлади, чунки уларнинг Вронский детерминанти нуқтада нолга тенг эмас. Демак, ечимлар чизиқли эркли.
4-теорема. Агар функциялар тенглама ечимларининг фундаментал системаси бўлса, бу тенгламанинг умумий ечими

формула билан аниқланади, бу ерда лар ихтиёрий ўзгармас сонлар.
Исбот. Агар ларни танлаш йўли билан ихтиёрий

бошланғич шартларни қаноатлантирувчи хусусий ечимни топиш мумкин бўлса, ечим умумий ечим бўлади. ечим охирги бошланғич шартларни қаноатлантиришини талаб қилиб, ларга нисбатан чизиқли бўлган

тенгламалар системасини ҳосил қиламиз. Бу системанинг детерминанти тенгламанинг чизиқли эркли ечимларидан тузилган Вронский детерминантидир, шунинг учун ҳам у нолга тенг эмас. Демак, бу система ўнг томони ихтиёрий бўлганда ҳар қандай учун ларга нисбатан ягона ечимга эга. Шу билан теорема исботланди.
Натижа. Чизиқли бир жинсли дифференциал тенглама чизиқли эркли ечимларининг максимал сони тенгламанинг тартибига тенг.
Агар
(1)
тенглама ечимларининг фундаментал системаси берилган бўлса, у ҳолда чизиқли бир жинсли (1) тенгламани тўла аниқлаш (тузиш) мумкин. Бу тенглама

кўринишга эга.
Назорат саволлари
1.Функцияларнинг чизиқли боғлиқлиги ва эрклилиги тушнчаларига таъриф беринг.
2.Вронский детерминанти қандай хоссаларга эга?
3. Фундаментал ечимлар системаси деб нимага айтилади?
GLOSSARIY
тенглама ечимларининг фундаментал ситемаси – -тартибли чизиқли бир жинсли тенгламанинг ихтиёрий та чизиқли эркли ечимлари системаси