Natija: Agar va har bir qo`shiluvchi qolganlari yig`indisiga bog`liq bo`lmasa,
40. xarakteristik funksiya da tekis uzluksiz.
Isboti:
Oldin berilgan uchun, A ni shunday tanlaymizki, so`ngra ni shunday tanlaymizki, bo`lsin, natijada
bo`ladi.
5o.
Bu yerda , ning kompleks qo`shmasi.
Bu xossaning isboti
tenglikdan kelib chiqadi.
Quyidagi Poya teoremasini isbotisiz keltiramiz.
6o . Poya teoremasi, ,( ) quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya bo`lsin:
a) 0, (0)=1, va t da (t)0.
b) funksiya uzluksiz, juft va botiq.
Bundan funksiya biror taqsimot funksiyaning xarakteristik funksiyasi bo`ladi.
1- teorema. Agar tasodifiy miqdor n-tartibli absolyut momentga ega bo`lsa, xarakteristik funksiya n marta diffyerenstiallanuvchi va k n uchun
(2)
va
(3)
bu yerda t0 da va barcha t lar uchun
Isboti: Xarakteristik funksiyasi k marta formal diffyerenstiallash quyidagiga olib keladi:
(4)
bo`lganligi uchun teorema shartidan (4) integralning mavjudligi va differensiallashning qonuniyligi kelib chiqadi.
(4) da deb olsak
kelib chiqadi.
(3) ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. Ma`lumki,
Shuning uchun bu yerda va - tasodifiy miqdorlar va .
(3) ga ega bo`lish uchun oxirgi tenglikning ikkala tomonidan matematik kutilma olish kyerak.
Endi ayrim muhim taqsimotlarning xarakteristik funksiyalarini qaraymiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |