Xarakteristik funksiyalar

Xarakteristik funksiyalar
Taqsimot funksiya bilan bir qatorda u haqidagi hamma ma’lumotni o’z ichiga oluvchi xarakteristik funksiyalardan ham foydalaniladi. Xarakteristik funksiya yordamida bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar yig’indisining taqsimotini topish, sonli xarakteristikalarni hisoblash bilan bir muncha osonlashadi.
Ta’rif: X tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi bo’lib, uni yoki orqali belgilaymiz. Shunday qilib, ta’rifga ko’ra:

Agar X tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdor bo’lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi

formula orqali, agar zichlik funksiyasi bo’lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi

formula orqali aniqlanadi.
Bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar yig’indisining xossalarini o’rganishda xarakteristik funksiyalar metodi juda qulay metodlardan biri hisoblanadi.
Xarakteristik funksiyaning xossalari:
1. Barcha uchun quyidagi tengsizlik o’rinli:

2. Agar bo’lsa, bu yerda va o’zgarmas sonlar, u holda

3. Agar va tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz bo’lsa, u holda yig’indining xarakteristik funksiyasi va tasodifiy miqdorlarning xarakteristik funksiyalari ko’paytmasiga teng:

4. Agar tasodifiy miqdorning -tartibli boshlang’ich momenti mavjud bo’lsa, u holda unga mos xarakteristik funksiyaning -tartibli hosilasi mavjud bo’lib, uning dagi qiymati

Isboti. 1. chunki

2.
3. Bu xossa ta bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar yig’indisi uchun ham o’rinlidir.