Xayriyeva Nargiza Ziyoviddin qizi «Fundamental yechim tushunchasi va matematik fizikaning klassik tenglamalarining fundamental yechimlari»

2.3.1-misol. funktsiya uchun tenglama uchun fundamental yechim bo’lishligini isbotlang.

Isbot . Berilgan funksiya bo’lganda x bo’yicha ham bo’yicha ham berilgan tenglamani qanoatlantiradi. Haqiqatan hamma

Bu ifodalarni berilgan tenglamaning chap tomoniga qo’yib, (2.3.10) ga ko’ra quyidagiga:

ega bo’lamiz. Shunday qilib, funktsiya bo’lganda berilgan Laplas tenglamasini qanoatlantiradi.

Demak,2.3.1- ta’rifga ko’ra funktsiya fundamental yechimdir.

2.3.2-misol. funksiya Koshi –Riman operatorining fundamental yechimi ekanligini isbotlang.

Isbot. funktsiya da Koshi- Riman tenglamasini qanoatlantiradi.

Haqiqatan,

Ifodalarga ko’ra

Ega bo’lamiz. Shunday qilib, funksiya Koshi- Riman tenglamasini qanoatlantiradi. Demak bu funksiya fundamental yechimdir. Ushbu yechimdan Laplas tenglamasiga qo’yiladigan masalalarni yechishda foydalanish mumkin.

Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari .

1. Dirixle va Neyman masalalarining qo’yilishi hamda ular yechimlarining yagonaligi. fazoda chekli soha bo’lib, uning chegarasi S bo’laklari silliq, sirtdan iborat bo’lsin ni , orqali belgilab olamiz, ya’ni

.

Dirixlening ichki masalasi. D sohada garmonik da uzluksiz va

(2.3.6)

chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.

Dirixlening tashki masalasi. sohada garmonik shunday funksiya topilsinki, u S da berilgan uzluksiz qiymatlarni qabul qilib, ya’ni

(2.3.7)

da n >2 bo’lgan xolda dan sekin bo’lmay nolga intilsin, n =2 da esa chekli limitga intilsin.

Neymanning ichki masalasi. D soxada garmonik, da o’zining birinchi tartibli xosilalari bilan birga uzluksiz bo’lgan funksiya topilsinki, uning normal bo’yicha olingan xosilasi S da avvaldan berilgan qiymatlarga teng bo’lsin, ya’ni

(2.3.7)

bu yerda n — S ga o’tkazilgan normal.

Neymanning tashqi masalasi. soxada garmonik shunday funksiya topilsinki, uning normal bo’yicha olingan hosilasi S da avvaldan berilgan qiymatlarni qabul qilsin, ya’ni

(2.3.8)

hamda funksiyaning o’zi cheksiz uzoqlashgan nuqtada n>2 bo’lgan holda nolga, n =2 da esa chekli limitga intilsin.

Dirixlening ichki va tashqi masalalari bittadan ortiq yechimga ega bo’lmaydi.

Haqiqatan ham, bu masalalar bir xil chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita va echimga ega bo’lsin. U holda, funksiya (2.3.1)tenglamani va shartni qanoatlantiradi. Avval ichki masalani ko’ramiz. Ekstrimum prinsipining ikkinchi natijasiga ko’ra barcha D sohada bo’ladi, demak .Endi tashqi masalani tekshiramiz.

Avval n>2 bo’lsin. Shartga asosan funksiya sohada garmonik, shu bilan birga va x nuqta koordinata boshidan yetarli uzoqlashganda ,

tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Markazi koordinata boshida va radiusi R ga teng bo’lgan hamda S sirtni to’la o’z ichiga oluvchi sferani olamiz. u(x) funksiyani S sirt va sfera bilan chegaralangan D_R sohada qaraymiz. Agar radius yetarli katta bo’lsa, sferada

tengsizlik bajariladi. Ixtiyoriy sonni olamiz va R ni shunday katta qilib tanlaymizki, tengsizlik bajarilsin. D_R sohada funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga yoki S da, yoki da erishadi, demak, bu qiymatlar modul bo’yicha dan katta emas. sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Yetarli katta R da bu nuqta D_R ga tushadi, shuning uchun ham

. Ammo —ixtiyoriy musbat son bo’lganligi sababli , demak:

. Agar n=2 bo’lsa, konform almashtirish (masalan kasr chiziqli) natijasida cheksiz sohani chekli sohaga o’tkazish mumkin. Bunda Laplas tenglamasi yana Laplas tenglamasiga, cheksiz sohada garmonik bo’lgan u(x) funksiya esa chekli sohada garmonik bo’lgan funksiyaga o’tadi va bu funksiya sohaning chegarasida nolga teng bo’ladi. Shunday qilib, cheksiz soha uchun Dirixle masalasi echimining yagonaligi isbot qilingan chekli sohadagi Dirixle masalasiga keladi.

Laplas tenglamasi uchun Neymanning ichki masalasi o’zgarmas son aniqligida topiladi, ya’ni masalaning ikkita yechimi bir-biridan o’zgarmas son bilan farq qiladi.

Faraz qilaylik, bu masala bir xil (2.3.8) shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita u₁(x) va u₂(x) yechimga ega bo’lsin.

U holda, bu yechimlarning ayirmasi u(x)=u₁(x)- u₂(x)funksiya (2.3.1) tenglamani va shartni qanoatlantiradi.

Oxirgi shartni qanoatlantiruvchi garmonik funksiya 2-banddagi 2)xossaga asosan barcha D sohada o’zgarmas songa teng bo’ladi, ya’ni u(x)=const yoki u₁(x) = u₂(x) =const. Neymanning ichki masalasi hamma vaqt ham yechimga ega bo’la vermaydi. 2- banddagi 3) xossaga asosan

(2.3.10)

bo’lishi kerak. Bu shart Neyman ichki masalasining yechimga ega bo’lishi uchun zaruriy shartdir. Keyinchalik (2.3.10) ning yetarli shart ekanini ham ko’rsatamiz.

Agar fazoning o’lchovi n>2 bo’lsa, u holda Neymanning tashqi masalasi bittadan ortiq yechimga ega bo’lmaydi.

Bu fikrning to’g’riligiga ishonch hosil qilish uchun yuqorida kiritilgan chegaralari S va S_R dan iborat bo’lgan D_R sohaga (8) formulani qo’llaymiz:

(2.3.11)

S_R sfera bo’yicha olingan integralni baholaymiz. R yetarli katta bo’lganda 1- § ning 6- bandidagi lemmaga asosan

tengsizliklar o’rinli bo’ladi. U holda

bo’lgani uchun (2.3.11) formuladagi S bo’yicha olingan integral nolga teng. Shunday qilib, da

Demak,. Ammo da uchun, ekanligi kelib chiqadi.

Agar bo’lsa, Neymanning tashqi masalasi o’zgarmas son aniqligida topiladi.

Bu holda ham xuddi yuqoridagidek, u = const tenglikka ega bo’lamiz. Chekli uzoqlashgan nuqtada n=2 da garmonik funksiya chegeralangan bo’lgani uchun, yuqoridagi fikrimizning to’g’riligiga darhol ishonch hosil qilamiz.

Xulosa.

Matematik fizikaning aosiy tenglamalaridan to’lqin tarqalish tenglamasi, issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi, Laplas tenglamalarining fundamental yechimi keltirib chiqarilgan. Fundamental yechim asosida Koshi masalasining yechimi qurilgan. Fundamental yechimlarni keltirib chiqarishda zarur bo’lgan teorema va lemmalar isboti bilan o’rganilgan.

Xotima

Bu bitiruv malakaviy ishi “Fundamental yechim tushunchasi va matematik fizikaning klassik tenglamalarining fundamental yechimlari” mavzusiga bag’ishlangan bo’lib, kirish, ikki bob, besh paragraf, ikki bobning xulosasi, xotima va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.

Kirish qismida o’rganilgan mavzuning dolzarbligi, tadqiqot ob’ekti va predmeti, BMI ning asosiy maqsad va vazifalari, tadqiqot usuli va uslubiyoti, olingan asosiy natijalar, natijalarning ilmiy yangiligi va amaliy ahamiyati, tadbiq etish darajasi, iqtisodiy samaradorligi, qo’llanish sohasi, xulosa va takliflar asoslab ko’rsatilgan.

Birinchi bob yordamchi xarakterga ega bo’lib, o’rganilgan mavzuni yoritishga zarur bo’lgan tushunchalar va ma’lumotlar keltirilgan.

Ikkinchi bob bitiruv malakaviy ishining asosiy qismi bo’lib, matematik fizikaning klassik tenglamalarining fundamental yechimlari, ya’ni to’lqin tarqalish tenglamasining, issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining va Laplas tenglamasining fundamental yechimlari haqida tushuncha va ma’lumotlar keltirilgan.

BMI referativ xarakterga ega bo’lib, murakkablik darajasi ancha yuqori bo’lgan bir qancha masalalarni yechishda, oliy o’quv yurtlarida maxsus tanlov kurslari o’qitishda hamda barcha oliy o’quv yurtlarining «Matematika», «Fizika» ta’lim yo’nalishlarining o’qituvchilari va talabalari muhim qo’llanma sifatida foydalanishlari mumkin.

Adabiyotlar

1. Erkin va faravon,demokratik O’zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz.O’zbekiston Respublikasi Prezidenti lavozimiga kirishish tantanali marosimga bag’ishlangan.Oliy Majlis palatalarining qo’shma majlisidagi nutq/Sh.M.Mirziyoev-Toshkent O’zbekiston,2016

2. I.A.Karimov “ Inson baxt uchun tug’iladi “. Toshkent, “ Sharq ” , 2001y,127 b.

3. Ўзбекистон Республикасининг Таълим тўғрисидаги Қонун // Олий таълим: Меъёрий ҳужжатлар тўплами / Тузувчилар: Б.Ҳ.Рахимов, Ш.Д.Жонбоев, В.У.Ёдгоров ва бошқ.: Акад. С.С.Ғуломов таҳрири остида. – Тошкент : Шарқ, 2001.-18-52 б

4.“ Sog’lom bola yili ” Davlat dasturi. 2014-yil, 19- fevral.

5.Романов В.Г “ Обратные задачи математической физики ”. Москва.

“ Наука ” , 1984 г , 245 ст.

6. Салоҳиддинов М.С “ Математик физика тенгламалари” Тошкент.

“ Ўзбекистон ”, 2002й , 448 б.

7. Жўраев Т.Ж. , Абдиназаров С. “ Математик физика тенгламалари ”. Тошкент. “ Университет ”, 2003й , 334 б.

8. Салоҳиддинов М.С “ Математик физика тенгламалари фанидан масалалар тўплами ”. Тошкент. “ Mumtoz so’z ”, 2010й , 372 б.

9. Джураев Т.Д. Краеыве задачи для уравнений смешанного и смешанно – составного типов . Ташкент: Фан. 1979. -3-11 ст.

10. Романов В.Г Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Изд. “Наука”, Сибирское отделение Новосибирск 1972 г. 164 стр.

11. Merajova Sh.B, Mamatova N.H, Samadov S.O  ’’O`rta maxsus kasb-hunar ta’limi jarayonida sifat va samaradorlikni oshirishning dolzarb muammolari’’ respublika ilmiy-amaliy konferensiyasi materiallari. Buxoro 2015y. 148-151b.

12. Дурдиев Д. К. Меражова Ш. Б. Об единственности решения обратной задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа: двумерный случай. ’’Cовременные методы математической физики и их приложения” Ташкент 2015.

13. Merajova Sh.B, Mamatova N.H, Samadov S.O “Matematika va uni zamonaviy pedagogik texnologiyalar yordamida o`qitish muammolari” respublika ilmiy-amaliy konferensiyasi materiallari. Navoiy-2015y. 251-252b

14.Tихонов А.Н.Самарский А.А.Уравнение математической физики.М.Наука. 1972 г.724 с.

15.Сабитов К.Б.Теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектриалным параметромю1989 г.117 с.

16. Internet resurslari: www.ziyonet

17. http//docs.titli.uz /oliy matematika, 2010y.

18. www.Leginur.ru

19. www.lib. homelinex. Org/math

20. www.eknigu.com /lib/mathematics/

21. www.ilm.uz