Xayriyeva Nargiza Ziyoviddin qizi «Fundamental yechim tushunchasi va matematik fizikaning klassik tenglamalarining fundamental yechimlari»

Issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasi

sinfdan shunday funksiya topilsinki, bu funksiya , da

tenglamani va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin:

bu yerda - berilgan funksiyalar.

Bu masalaga issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshining klassik masalasi deyiladi.

Agar funksiya va uning barcha ikkinchi tartibigacha hosilalari har bir sohada chegaralangan, funksiya chegaralangan bo‘lsa, u vaqtda Koshining klassik masalasining yechimi mavjud, yagona va quyidagi Puasson formulasi orqali topiladi:

. (2.2.15)

Quyidagi formuladan ham foydalansa bo‘ladi:

. (2.2.16)

Masala. u_t=4u_xx+t+e^t, u|_t=0=2. Koshi masalasini yeching.

Ushbu misolni yechish uchun (2.2.15) formuladan foydalanamiz. Bizning holimizda , , - berilganlar. Shu qiymatlarni (2.2.15) formulaga etib qo‘yamiz:

, (2.2.17)
bu yerda

va

.

Integrallarni alohida-alohida hisoblaymiz.

demak, .

- bu integralni hisoblashda ham yuqoridagi kabi fikr yuritib, hisoblashlarni bajaramiz va quyidagi natijani olamiz: . Ikkala integralni etib (2.2.17) ga qo‘yamiz, natijada quyidagi yechimni olamiz: .

Koshi masalasi

(2.2.18)

tenglama uchun quyidagicha qo’yiladi : t> 0 yarim fazoda (2.2.18) tenglamaning sinfga tegishli bo’lgan va

(2.2.19)

Boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin, bu yerda berilgan uzluksiz chegaralangan funksiya.

1. Koshi masalasi yechimining yagonaligi. (2.2.18) tenglama (2.2.19) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi bittadan ortiq, chegaralangan yechimga ega bo’lmaydi.

Haqiqatan ham, agar bunday yechimlar ikkita va bo’lsa, ularning ayirmasi ) ( 2.2.19 ) tenglamani va

(2.2.20 )

boshlang’ich shartni qanoatlantiradi. Bu funksiya ikkita chegaralangan funksiyalar ayirmasi bo’lgani uchun chegaralangan bo’ladi, ya’ni .

t=0 tekislikda (ya’ni Eⁿ fazoda) markazi koordinata boshida , radiusi R ga teng bo’lgan W_R sharni qaraymiz. Bu sharning chegarasi S_R bo’lsin.

Yasovchilari t o’qda parallel va yo’naltiruvchisi S_R bo’lgan silindrik sirt yasaymiz. Bu sirtning t>0 bo’lgan qismini V orqali belgilaymiz. fazoda chegarasibo’lgan sohani Q orqali belgilab , ushbu

yordamchi funksiyani tekshiramiz.

Bu funksiya (2.2.19) tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko’rish qiyin emas. So’ngra

(2.2.20) tenglikka asosan

va nihoyat,

.

Oxirgi ikki tengsizlikdan

tengsizlikka ega bo’lamiz.

Bundan darhol miqdorlarning har biri manfiy emasligi kelib chiqadi. Bundan tashqari bu miqdorlarning har biri (2.2.19) tenglamani qanoatlantiradi. U holda, ekstremum prinsipiga asosan, yopiq Q_T sohada, bunda yig’indi ham, ayirma ham minimum qiymatni da qabul qiladi , shu bilan bu minimumlar manfiy emas.

Demak ,

.

Shunday qilib , da

ya’ni

x va t ni ixtiyoriy belgilab (aniqlab), R ni cheksizlikka intiltiramiz. Bu holda, oxirgi tengsizlikdan

ya ‘ni .

Shu bilan Koshi masalasi yechimining yagonaligi isbotlandi. Koshi masalasi yechimi yagonaligining isbotlash usulidan uning turg’unligi ham kelib chiqadi. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi. Ushbu

funksiya t>0 yarim fazoning barcha (x,t) nuqtalarida

tenglamaning yechimidan iboratdir.

Haqiqatdan ham,

(2.2.20) funksiya englamaning fundamental yechimi deyiladi.

Koshi masalasi yechimining mavjudligi. Ushbu


formula bilan aniqlangan funksiya (2.2.1) tenglama uchun Koshi masalasining yechimidan iboratdir. Bu yerda E1 bo’yicha olingan integralni quyidagicha tushunish lozim:

(2.2.21) formula Puasson formulasi deyiladi

Avvalo, Puasson formulasi bilan aniqlangan u(x, t) funksiyaning t>0 bo’lganda uzluksiz bo’lishini isbotlaymiz. Shu maqsadda ,…,, t o’zgaruvchilar fazosida


tengsizliklar bilan aniqlangan sohani qaraymiz, bunda I, T—musbat o’zgarmaslar.

(2 .2 .1) formulada ishtirok etayotgan

integralning x va t bo’yicha (2.2.22) sohada tekis yaqinlashuvchanligini ko’rsatamiz. Yetarli katta R sonni olib,

integralni baholaymiz.

funksiya chegaralangan, ya’ni .

So’ngra, deb hisoblaymiz. U holda

Bunga asosan

Demak ,

Ushbu

integral yaqinlashuvchi bo’lgani uchun, (2.2.24) ning o’ng tomonidagi integral R yetarli katta bo’lganda istalgancha kichik bo’ladi, bu integral x ga ham, t ga ham bog’liq, bo’lmagani uchun (2.2.23) integral tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Bundan Puasson formulasi bilan aniqlangan u(x, t) funksiyaning t>0 da uzluksizligi kelib chiqadi.

Endi t>0 bo’lganda u(x, t) funksiyani t va x nuqtaning koordinatlari bo’yicha istalgancha differensiallanuvchi ekanligini va barcha hosilalarni Puasson formulasini integral belgisi ostida differensiallash natijasida hosil qilish mumkinligini ko’rsatamiz.

Misol uchun hosilani tekshiramiz. Agar Puasson formulasining o’ng tomonini t bo’yicha formal differensiallasak , quyidagi ifodani hosil qilamiz:

Bu ifodaning o’ng tomonidagi birinchi integral yuqorida ko’rsatganimizga asosan (2.2.22) sohada tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Shu singari ikkinchi integralning ham bu sohada tekis yaqinlashuvchanligi tekshirib ko’riladi.

Bundan darhol hosilaning mavjudligi, uzluksizligi va (2.2.2) ifoda bilan ustma-ust tushishi kelib chiqadi.

Xuddi shunday u(x,t) funksiya boshqa hosilalarining mavjudligi isbot qilinadi. Puasson formulasini bevosita differensiallab, u(x,t) funksiyaning hosilalarini tenglamaga qo’yib, bu funksiyaning (2.2.1) tenglamani qanoatlantirishiga hosil qilamiz.

Endi u(x, t) funksiyaning chegaralanganligini va (2.2.18) boshlang’ich shartni qanoatlantirishini isbot qilish qoldi. (2.2.21) formulada almashtirish bajaramiz u holda formula ushbu

ko’rinishda yoziladi. Ma’lum bo’lgan

formulaga asosan

(2.2.26) formuladan


Demak, u(x,t) funksiya chegaralangan.

(2.2.26) va (2.2.27) formulalarga asosan

(2.2.28) formuladagi integralni |s|>R va |s|

U holda

Ushbu

integral yaqinlashuvchi bo’lgani uchun, shunday tanlash mumkinki, bo’lganda

tengsizlik bajariladi.

Biror sonni aniqlab qo’yamiz. U holda shunday topish mumkinki, bo’lganda va ixtiyoriy uchun quyidagi tengsizlik bajariladi:

Undan keyin

Demak,

ya‘n i , ixtiyoriy bo’lgani uchun

2.3. Laplas tenglamasining fundamental yechimi.

Parabolik turdagi tenglamalar o‘rganilganda nostansionar, ya’ni issiqlik tarqalish jarayoni vaqtga bog‘liq bo‘lgan maydonlar qaralgan edi.

Endi issiqlik tarqalish prossesini stasionar deb qaraymiz, ya’ni vaqt o‘tishi bilan maydondagi temperatura o‘garmaydi. Bunday maydonlar stasionar temperaturali maydonlar deyiladi.

a) Bir jinsli sterjenda issiqlik tarqalish jarayoni stasionar deb qaraylik, u holda issiqlik tarqalish tenglamasida , bo‘lib u holda tenglama

(a)
ko‘rinishga keladi. Agar sterjenda doim issiqlik manbalari ta’sir, tenglama

(b)
ko‘rinishda bo‘ladi.

b) Bir jinsli membranaga issiqlik tarqalish jarayoni stasionar deb qaraylik, u holda issiqlik tarqalish tenglamasi
(a1)
ko‘rinishga keladi. Agar membranaga doim issiqlik manbalari ta’sir etsa, tenglama

(b1)
ko‘rinishda bo‘ladi.

d) Bir jinsli qattiq jism uch o‘lchovli fazoda qaralayotgan bo‘lib, issiqlik tarqalish jarayoni stasionar bo‘lsa, u holda issiqlik tarqalish tenglamasi
(a2)
ko‘rinishga keladi, agar unga doim issiqlik manbalari ta’sir etsa, tenglama

(b2)
ko‘rinishda bo‘ladi.

Yuqorida keltirilgan (a), (a1), (a2) tenglamalar mos ravishda bir, ikki, uch o‘lchovli Laplas tenglamalari, (b), (b1), (b2) tenglamalar mos ravishda bir, ikki, uch o‘lchovli Puasson tenglamalari deyiladi.

S sirt bilan chegaralangan qandaydir D sohani qaraylik. D soha ichida u(x,y,z) temperaturaning stasionar tarqalish masalasi quyidagicha qo‘yiladi:

D soha ichida tenglamani va quyidagi chegaraviy shartlardan bittasini:

I. , S da (birinchi chegaraviy masala)

II. , S da (ikkinchi chegaraviy masala)

III. , S da (uchinchi chegaraviy masala)

qanoatlantiruvchi u(x,y,z) funksiya topilsin.

Laplas tenglamasiga qo‘yilgan 1-chegaraviy masalani Dirixle masalasi, 2-chegaraviy masalani – Neyman masalasi deydilar.

orqali 2-tartibli xususiy hosilalarning differensial operatorini belgilaymiz:

.

Ushbu differensial operator Laplas operatori,

(2.3.1)

tenglama – Laplas tenglamasi deyiladi.

(2.3.1) tenglamaga mos kvadratik xarakteristik forma quyidagicha:

,

va bu forma fazoning hamma nuqtalarida musbat aniqlangan. Bundan esa tenglama fazoda elliptik ekanligi kelib chiqadi.

2-3-1.Ta’rif. 2-tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lgan va Laplas tenglamasini qanoatlantiruvchi (ya’ni uning yechimi bo‘lgan) funksiya garmonik funksiya deyiladi.

va nuqtalarning funksiyasi bo‘lgan quyidagi funksiya ham , ham bo‘yicha Laplas tenglamasini qanoatlantirishini to‘g‘ridan-to‘g‘ri tekshirish mumkin:

(2.3.2)

bu yerda, . Haqiqatan, bo‘lganda (2.3.2) dan quyidagini olamiz:

. (2.3.3)

(2.3.3) ni etib (2.3.1) ga qo‘ysak quyidagini olamiz:

.

• 
  funksiya
  
• 
  va o‘zgaruvchilarga nisbatan simmetrik bo‘lganligi uchun, ushbu funksiya , o‘zgaruvchi bo‘yicha ham Laplas tenglamasini qanoatlantiradi.
  

(2.3.2) formula orqali aniqlangan funksiya Laplas tenglamasini elementar yoki fundamental yechimi deyiladi. bo‘lgan holda ushbu tenglama (yoki ) nuqtada joylashgan birlik zaryadning potensialini bildiradi.

S - fazoda berilgan silliq gipertekislik va - unda berilgan haqiqiy va uzluksiz funksiya bo‘lsin.

(2.3.4)

bu yerda integrallovchi o‘zgaruvchi bo‘yicha S gipertekislik yuzasining elementi, funksiya esa S da yotmaydigan fazoning barcha nuqtalarida garmonik funksiya.

funksiya da ga nisbatan garmonik. , hosilalarni hisoblaganda differensiallash amalini (2.3.4) ifodada integral ishorasi ostiga kiritish mumkin. Va buning natijasida yuqoridagi funksiya garmonik funksiya ekanligi haqidagi tasdiq isbot bo‘ladi.

fazoda biror yopiq S sirt bilan chegaralangangan chekli yoki cheksiz D sohani qaraymiz.

Agar funksiya chekli D sohada ikki marta uzluksiz differentsiallanuvchi bo’lib, Laplas tenglamasini qanoatlantirsa, ni D sohada garmonik funksiya deyiladi.

Agar funktsiya fazo chekli nuqtasining yetarli kichik atrofida, ya’ni markazi shu nuqtada bo’lgan yetarli kichik radiusli sharda garmonik bo’lsa, uni shu nuqtada garmonik deb ataladi.

Agar funktsiya cheksiz D sohaning koordinata boshidan chekli masofada yotgan ixtiyoriy x nuqtasida garmonik bo’lib, yetarli katta |x| lar uchun

Tengsizlik bajarilsa, funksiya cheksiz D sohada garmonik deyiladi.

fazodagi ikki nuqta orasidagi masofani r orqali belgilab olamiz, ya’ni

Bevosita tekshirish bilan ishonch hosil qilish mumkinki, ushbu

Funksiya bo’lganda x bo’yicha ham, bo’yicha ham Laplas tenglamasini qanoatlantiradi.

Haqiqatdan,

Oxirgi ifodani (2.3.1) tenglamaning chap tomoniga olib borib qo’yamiz. U holda

Xuddi shunga o’xshash n=2 hol tekshirib ko’riladi. funksiya x va ga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun bu funksiya dabo’yicha ham Laplas tenglamasini qanoatlantiradi deb aytishimiz mumkin.

(2.3.5) formula bilan aniqlangan funktsiyani Laplas tenglamasining elementar yoki fundamental yechimi deyiladi.

Cheksizlikda

baho o’rinli bo’ladi.

Haqiqatan ham ,funksiyaning yetarli katta |x| lardagi qiymati qiziqtirayotgani uchun deb olishimiz mumkin.

U holda

tengsizlikka asosan, bo’lgani uchun tengsizlik kelib chiqadi. Bundan darhol

tengsizlikka ega bo’lamiz.

Uqtirib o’tamizki, qiymatlari ikki nuqta o’rtasidagi masofa r ga bog’liq bo’lgan Laplas tenglamasini qanoatlantiruvchi funktsiyalar orasida ko’rinishdagi funksiyalardan boshqa funksiya mavjud emas, bunda C₁ ,C₂ –o’zgarmas sonlar.

Faraz qilaylik, shunday funksiya mavjud bo’lsin, ya’ni . Bu funksiyadan x_i o’zgaruvchi bo’yicha hosilalarni hisoblaymiz:

Bu hosilalarni (2.3.1) tenglamaga qo’ysak, Laplas tenglamasi o’rniga

oddiy differansial tenglama hosil bo’ladi.

Bu tenglamaning umumiy yechimi

dan iboratdir.