Xix asming oxirida matematikani standartlashtirish bo'yicha o'z dasturini taklif etgan Kantor1 tomonidan asos solingan deb hisoblansada, to'plamlar bilan Kantordan oldinroq Bolsano

to'plamlaming sodda nazariyasi” 1 N - natural sonlar to'plam i (Kitobdagi asosiy belgilashlarga qarang). 16 deli ham ataluvchi to'plamlar nazariyasi mukammal emasligi ma’lum bo'ldi. To'plamlarning sodda nazariyasini o'rganish jarayonida Rassel paradoksgakelib qoldi. Kantoming to'plamlar nazariyasi ichki /iddiyatga ega ekanligi Rassel paradoksi sifatida ifodalangan.
Rassel paradoksi. Faraz qilaylik, К - o'zini element sifatida o'zida saqlamagan barcha to'plamlar to'plami bo'lsin. U holda, К - o'zini element sifatida saqlaydimi? Agar bu savolga “ha” deb javob berilsa, К to'plamning aniqlanishiga ko'ra, u К ning elementi bo'lmasligi kerak - ziddiyat. Agar “yo'q” deb javob berilsa, yana К to'plamning aniqlanishiga ko'ra, u to'plam sifatida К ning elementi bo'lishi kerak - yana ziddiyat. Hozirgi zamon to'plamlar nazariyasi aksiomalar tizimiga asoslangandir
1- teorema. Agar ixtiyoriy chekli A va В to'plamlar uchun А П В = 0 bo ‘Isa, и holda |A U В |=| A | + |В | bo 'ladi.
Demak, qo'shish qoidasiga ko'ra. kesishmaydigan ikkita to'plam birlashmasining quvvati shu to'plamlar quvvatlarining yig'indisiga tengdir.
Ko‘pavtirish qoidasiga asosan, m ta elementli A va n ta elementli В to'plamlaming elementlaridan tuzish mumkin bo'lgan barcha (a e A , b e В ) kortejlar (juftliklar) soni mn ga teng. Bu qoida “va” qoidasi deb ham ataladi. Uni quyidagi teorema ko'rinishida ifodalash ham mumkin.2- teorema.Ixtiyoriy chekli A va В to'plamlar uchun |A * В |=| A| * | В| tenglik о ‘rinlidir.Isboti o'quvchiga havola qilinadi. Demak, ko'paytirish qoidasiga ko'ra, ixtiyoriy ikkita chekli to'plam Dekart ko'paytmasining quvvati shu to'plamlar quvvatlarining ко' paytmasiga tengdir.. To'plamlar nazariyasida quvvat eng muhim tushunchalardan biri bo'lib, u to'plamlarni taqqoslashda katta ahamiyatga egadir. To'plamning quvvati tushunchasi, uning chekli yoki cheksiz bo'lishiga qarab ta’riflanadi. Quw at tushunchasi to'g'risida batafsil ma’lumotni to'plamlar nazariyasiga bag'ishlangan manbalardan topish mumkin. Diskret matematikada, asosan, chekli to'plamlar bilan ish ko'riladi. Shu sababli, to'plamning quvvati tushunchasini faqat chekli to'plamlar uchun keitirish bilan chegaralanamiz.