Yechish. Berilgan tenglama, boshlang’ich shartlar va chegaraviy shartlarga asosan masalaning yechimi kurinishida ishlaymiz funksiyani bir jinsli bo’lmagan tenglama va boshlan-g’ich shartlarga qo’yib, quydagini xosil qilamiz

PARABOLIK TIPDAGI TENGLANALAR
1-§. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasi

Issiqliq o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun klassik Koshi masalas deb
sinfga tegishli va da
(3.1)
tenglamani , da esa (3.2)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topishga aytiladi , bu yerda – berilgan funksiyalar.
Agar va berilgan uzluksiz
chegaralangan funksiyalar bo’lsa , u xolda (3.1) , (3.2) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo’lib , u
(3.3)
Puasson formulasi orqali ifodalanadi [5] , [7].
1.Agar (3.3) formulada n=1 , bo’lsa , u xolda (3.1) , (3.2) Koshi
masalasining yechimi

ko’rinishida yoziladi . Bu yerda funksiya t >0 da tenglamaning fundamental yechimi deyiladi [15] , [19].
2.Agar (3.3) ) formulada bo’lsa , u xolda (3.1) , (3.2) Koshi
masalasining yechimi


Ko’rinishida yoziladi
1-Misol. tenglama uchun quydagi
shartlarni qanoatlantiruvchi Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. formulaga asosan berilgan masalaning yechimi
(3.4)
ko’rinishida boladi.
O’ng tomonidagi integralni xisoblaymiz:


Bundan

Quydagi

tenglikka va

(3.5)
formulaga ko’ra
(3.6)
Shunday qilib, (3.6) ni (3.4) tenglikka qo’yib , berilgan Koshi masalasining yechimini olamiz:

2-Misol. tenglama uchun quydagi
=2 (3.7)
shartni qanoatlantiruvchi Koshi masalasining yechimini toping.
Yechish. n=1 da (3.3) Puasson formulasiga ko’ra , berilgan tenglama va (3.7) shartdan foydalanib quydagini
(3.8)
xosil qilamiz .
(3.8) ifodaning bo’yicha olingan birinchi va ikkinchi integrallarida

Almashtirish bajarib quydagiga
(3.9)
ega bo’lamiz . Ma’lum bo’lgan (3.5) formulaga asosan (3.9) formuladan

ni xosil qilamiz. Demak , berilgan tenglama uchun qo’yilgan Koshi masalasining yechimi dan iboratdir.
3-Misol. tenglama uchun quydagi
(3.10)
Shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. n=2 da (3.3) Puasson formulasiga ko’ra , berilgan tenglama va (3.7) shartdan foydalanib quydagini

(3.11)
xosil qilamiz.
(3.11) ifodaning birinchi va ikkinchi integralarida
;

Almashtirishlar bajarib qo’ydagiga

(3.12)
ega bo’lamiz. Ma’lum bo’lgan (3.5) va
(3.13)
Formulalarga asosan (3.12) formuladan

Koshi masalasining yechimini xosil qilamiz.