Yirtqichlar va o'ljalar sonining o'zgarishi. Yirtqich-o'lja tizimining tebranishlari (Lotka-Volter modeli). "Yirtqich-qurbon" tizimini simulyatsiya qilish Yirtqichlik

Yirtqich-o’lja sistemasi o'zaro munosabati modeli.
Populyatsiya soni dinamikasi, ya’ni o’lja sonining o’zgarishi yirtqichlar sonining o’zgarishiga olib keladi. Populyatsiya o’zaro munosabatda yashaydi. Ikki turdagi yirtqich-o’lja sistemasi quyidagi xollarga asoslanadi:
1. O’ljaning rivojlanish soni N va yirtqich soni M faqat vaqtning funksiyalari bo’lsin, ya’ni M(t), N(t)
2. Agar o’zaro munosabat yo’q bo’lsa, ularning sonining Mal’tuz modeli o’zgaradi, bunda yirtqich kamayadi o’lja ko’payadi.

3. Tabiiy o’zgarishlar yo’q deb faraz qiladi.
4. O’lja sonining o’sish tezligi proporsional ravishda yirtqich sonining o’sishi bilan o’sadi, ya’ni CM, C>0
Yirtqich sonining o’sish tempi o’lja soni bilan proporsional o’sadi, ya’ni bN, b>0, u xolda quyidagi Volter tenglamalar sistemasi xos bo’ladi.
Boshlang’ich xolatda:
populyatsiya sonini vaqtni xar xil momentiga aniqlash mumkin.

1. 
   Sistemani tekshirish uchun, 1-tenglamani 2-tenglamaga bo’lamiz:
   

(2)

ва larda (1) va (2) tenglamalar muvozanat xolatlarida bo’ladi. (vaqtga bog’liq bo’lmaydi)

2. 
   Tenglamani quyidagi xolga keltiramiz:
   

2 tomonini NM ga bo’lib chap tomonga o’tkazib, quyidagini xosil qilamiz:
(3)
(3) ni Integrallab quyidagini xosil qilamiz:
bu yerda konstanta dastlabki N₀ va M₀
xolatlar bo’yicha aniqlanadi. Demak, (1) sistema
yechimga ega bo’ladi, yoki bu yerdan
(4) ni olamiz
(4) dan quyidagi xulosa qilish mumkin:
1. Agar va boshlang’ich xolatda bo’lsa, populyatsiyalar soni vaqtning xar qaysi holatida o’zgarmaydi.
2. O’lja va yirtqichlar sonining muvozanat xolatidan kichik cheklanishlarida vaqt o’tishi bilan o’z muvozanat xalatiga qaytmaydi.
3. Muvozanat xolatidan cheklanish katta bo’lsa, N(t) va M(t) funksiyalar uchun sistemaning o’zgarish vaqt o’tishi bilan muvozanat xolatiga qaytmaydi.
O’lja va yirtqichning populatsiyalar sonlari muvozanat xolati atrofida davriy tebranishlarn hosil qilishni bildiradi, bunda tebranish amplitudasi bir-biriga qarama qarshi fazoalrda joylashadi.
Tebranishlar 2 xil ko’rinishdagi populayatsion sistemalarda juda murakab jarayonlar paydo bo’lishini bildiradi. Masalan: O’lja populyatsiyasining to’yinishni xisobga olgan xolda logistik hat paydo bo’ladi va u quyidagi ko’rinishni oladi.


Muvozanat holatida atrofida bo’lgan holalrda troektorilar spiral ko’rinishida bo’ladi, tebranishlar amplutudasi vaqt o’tishi bilan kamayib boradi.
SARS-CoV-2. Epidemiya muammosi. Beylining matematik modellari
Quyidagi Beyli modelini ko'rib chiqamiz:

Beyli eng oddiy turdagi epidemiyani hisoblaydi, ya'ni kasallik sezgir shaxslar guruhi o'rtasida tarqaladigan, lekin o'lim, tiklanish yoki izolyatsiya qilish orqali aholidan olib tashlanmaydigan holat. Yuqori nafas yo'llarining ayrim kasalliklarining dastlabki bosqichlari uchun bunday yaqinlik maqbul bo'lishi mumkin, chunki bunday kasalliklar bilan infektsiya manbasini aholidan olib tashlashdan oldin uzoq vaqt o'tishi mumkin.
t=0 vaqtda guruhga infektsiya manbasi kiradi, a - kasallangan shaxslarning dastlabki soni, shuningdek, kasallikka moyil bo'lgan n ta sog'lom odam ham mavjud. Bunday model infektsiyalanmagan shaxslar soni dinamikasining matematik modeli deb ataladi.
Infektsiyalangan shaxslar soni har bir vaqtning har bir daqiqasida shartidan aniqlanishi mumkin, bunda - yuqmagan shaxslar soni.
Bu erda proportsionallik koeffitsienti β doimiy qiymat sifatida qabul qilinadi.
Yechim uchun, avvalgi eslatmada bo'lgani kabi, yana to'rtinchi aniqlik darajasidagi Runge-Kutta usuli yordamida Koshi muammosini hal qiladigan "dinamik" kutubxonasidan rk funktsiyasidan foydalanamiz.
Yuqtirilgan shaxslarning dastlabki soni a = 50, koeffitsient

CAS Maxima =0,0001, a = 50 da epidemiya vazifalari grafigi
Agar a, masalan, 5 ga kamaytirilsa, unda yuqmagan shaxslar soni oldingi grafikdan ko'rinib turganidek, 3 dan 5 gacha emas, balki 4 dan 6 kungacha keskin oshadi, ya'ni. epidemiyaning boshidanoq o'sish biroz kechiktiriladi.

CAS Maxima β=0,0001, a = 5 da epidemiya vazifalari grafigi
Agar β koeffitsienti, masalan, ikki marta - 0,00005 ga kamaytirilsa, infektsiyalangan shaxslar soni birinchi grafikga nisbatan sekinroq oshadi.

Shunday qilib, infektsiya manbai populyatsiyadan olib tashlanishiga qadar uzoq vaqt talab qilinishi mumkin bo'lgan yuqori nafas yo'llari infektsiyasining rivojlanishiga kasallangan shaxslarning dastlabki soni (a) ham, tarqalishini oldini olishga qaratilgan keyingi chora-tadbirlar ham ta'sir qiladi. infektsiya (qiymat koeffitsienti ).