Yirtqichlar va o'ljalar sonining o'zgarishi. Yirtqich-o'lja tizimining tebranishlari (Lotka-Volter modeli). "Yirtqich-qurbon" tizimini simulyatsiya qilish Yirtqichlik

Populyatsiyaning maksimal qoidasi, Bu aholining oziq-ovqat resurslari va naslchilik sharoitlarining kamayishi (andrewarta - qayin nazariyasi) hamda abiotik va biotik muhit omillari majmuasi ta'sirining cheklanishi (Fredericks nazariyasi) tufayli cheksiz o'sishi mumkin emasligidadir.
Shunday qilib, Fibonachchiga allaqachon ayon bo'lganidek, populyatsiyaning o'sishi uning miqdori bilan mutanosibdir va shuning uchun populyatsiyaning o'sishi hech qanday tashqi omillar bilan cheklanmasa, u doimiy ravishda tezlashadi. Keling, bu o'sishni matematik tarzda tasvirlaylik.
Aholi sonining o'sishi undagi individlar soniga to’g’ri proporsional, ya'ni D N ~ N, qayerda N - aholi soni va dN- uning ma'lum vaqt oralig'ida o'zgarishi. Agar bu davr cheksiz kichik bo'lsa, buni quyidagicha yozish mumkin   , qayerda  - aholi sonining o'zgarishi (ko'payishi), va r - reproduktiv salohiyat, populyatsiyaning hajmini oshirish qobiliyatini tavsiflovchi o'zgaruvchi. Yuqoridagi tenglama deyiladi eksponensial model aholining o'sishi.
Eksponensial o'sish.
Tushunish oson bo'lganidek, vaqt o'tishi bilan populyatsiya soni tez o'sib boradi va tez orada cheksizlikka intiladi. Tabiiyki, hech qanday yashash joyi cheksiz sonli aholining mavjudligiga dosh bera olmaydi. Shunga qaramay, populyatsiya sonining o'sishining bir qator jarayonlari mavjud bo'lib, ular ma'lum vaqt oralig'ida eksponensial model yordamida tasvirlanishi mumkin. Gap cheksiz o'sish holatlari haqida ketmoqda, bunda populyatsiyaning bir qismi bo'sh manbalar ko'p bo'lgan muhitda yashaydi: sigirlar va otlar --dala, un qo'ng'izlari - donli elevator va boshqalar.
Tabiiyki, populyatsiyaning eksponensial o'sishi abadiy davom eta olmaydi. Ertami-kechmi resurs tugaydi, populyatsiyaning o'sishi sekinlashadi. Amaliy ekologiya turli xil variantlarni o’rganadi: sonining keskin o'sishi, keyin esa o'z resurslarini tugatgan populyatsiyaning yo'q bo'lib ketishi va ma'lum darajaga yaqinlashganda o'sishning asta-sekin sekinlashishi. Uni ta'riflashning eng oson usuli - sekin tormozlash. Bunday dinamikani tavsiflovchi eng oddiy model deyiladi logistika va 1845 yilda frantsuz matematigi Verxulst tomonidan taklif qilingan (odam populyatsiyasining o'sishini tasvirlash uchun). 1925 yilda shunga o'xshash grafik amerikalik ekolog R. Pearl tomonidan qayta kashf qilindi va u universal ekanligini aytdi.
Logistik modelda K- o'rtacha quvvat o'zgaruvchi kiritiladi , populyatsiyaning barcha mavjud resurslarni iste'mol qiladigan muvozanat hajmi. Logistik modeldagi o'sish tenglama bilan tavsiflanadi   (rasm).

Logistik o'sish
N populyatsiyaning o'sishiga asosan omil ta'sir qiladi r× N va aholining o'sishi tezlashmoqda. U etarlicha yuqori bo'lganda, kofaktor populyatsiya soniga katta ta'sir ko'rsata boshlaydi.  va aholi o'sishi sekinlasha boshlaydi. Qachonki N = K bo’lganda va aholining o'sishi to'xtaydi.
Butun soddaligiga qaramay, logistik tenglama tabiatda kuzatilgan ko'plab holatlarni qoniqarli tarzda tavsiflaydi va hali ham matematik ekologiyada muvaffaqiyatli qo'llaniladi.