Yirtqichlar va o'ljalar sonining o'zgarishi. Yirtqich-o'lja tizimining tebranishlari (Lotka-Volter modeli). "Yirtqich-qurbon" tizimini simulyatsiya qilish Yirtqichlik

SARS-CoV-2. Epidemiya muammosi. Beylining matematik modellari
Endi epidemiyaning umumiy holati uchun quyidagi deterministik Beyli modelini ko'rib chiqing.
Bu erda infektsiyalangan shaxslar jamoadan olib tashlanishi mumkin. Bir xil aralashgan n ta individdan iborat guruh mavjud bo'lib, ularda t vaqtida x sezgir individlar, y infektsiya manbalari va z uzoqdagi (ya'ni, ajratilgan, o'lgan yoki tiklangan va infektsiyaga qarshi immunitetga ega) shaxslar mavjud. Shunday qilib, , bu erda a - infektsiyalangan shaxslarning dastlabki soni. Yana bir bor faraz qilaylik, kontaktlarning chastotasi , shuning uchun oralig'ida yangi holatlarning o'rtacha soni bo'lsin. o'chirish chastotasini ham hisobga olish kerak, ya'ni. , oralig'ida shaxslar infektsiyalangan guruhni tark etadilar.

Bu jarayonning harakat tenglamalari shaklga ega

boshlang'ich sharoitlarda vaqtida.

Kasallikka moyil bo'lgan n ta sog'lom odam mavjud, vaqtida infektsiya manbai guruhga tushadi, a - infektsiyalangan shaxslarning dastlabki soni, dastlabki vaqtda tuzalib ketgan shaxslar soni nolga teng, ya'ni. .
Bailey, shuningdek, takrorlanuvchi epidemiyalarning deterministik naqshini ko'rib chiqadi va ba'zi hududlarda qizamiq epidemiyasi bir yildan ikki yilgacha bo'lgan vaqt oralig'ida aylanishini ta'kidlaydi.
Epidemiyaning umumiy holati uchun oldingi modelga qilinadigan eng oddiy o'zgartirish, sezgir shaxslar soni doimiy ravishda, masalan, μtezligida ko'payadi deb taxmin qilishdir. Bu shuni anglatadiki, har qanday epidemiya avj olgandan so'ng, buning natijasida sezgir shaxslarning zichligi kritik qiymatdan pastga tushsa, nisbiy xotirjamlik davri mavjud bo'lib, kritik qiymat yana erishguncha va yangi o'choq paydo bo'lguncha davom etadi. oralig'ida sezgir shaxslar guruhi, bir tomondan, ularning ba'zilarining infektsiyasi tufayli β x y ∆tga kamaysa, ikkinchi tomondan, ga ortadi. Shuningdek, yangi sezgir shaxslarning bu oqimi populyatsiyadan chiqarilgan shaxslarning o'limi bilan muvozanatlanadi va shuning uchun populyatsiyaning umumiy soni doimiy bo'lib qoladi deb taxmin qilinadi.
Oldingi tizimga mos keladigan tenglamalar quyida keltirilgan, aslida bizga faqat tizimning birinchi ikkita tenglamasi kerak.

Bu erda biz yangi sezgir shaxslarning oqimi populyatsiyadan chiqarilgan shaxslarning o'limi bilan muvozanatlashtirilmagan modelni ko'rib chiqishni taklif qilamiz va shuning uchun populyatsiyaning umumiy hajmi doimiy bo'lib qolmaydi, ya'ni. to‘rtta noma’lum bo‘lgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun quyidagi Koshi muammosining yechimiga matematik modelni keltiramiz.


dastlabki sharoitlarda .
Quyidagi koeffitsientlar kiritildi: β - guruhdagi kasallanishni tavsiflaydi, \gamma - guruhdagi shaxslarning kamayishini tavsiflaydi (immunizatsiya natijasida izolyatsiya qilingan, tiklangan va infektsiyaga qarshi immunitetga ega bo'ladi), μ- doimiylikni tavsiflaydi. guruhni to'ldiruvchi sezgir shaxslar oqimi, - guruhdagi infektsiyadan o'lim natijasida shaxslarning yo'qolishini tavsiflaydi.

Hozirgi model bir qator cheklovlarga ega. Shunday qilib, u inkubatsiya davrida virus tashuvchisi, ehtimol kasallikning o'tkir davriga qaraganda ancha kamroq sezgir shaxslarni yuqtirishi mumkinligini hisobga olmaydi, o'lim darajasining o'zgarishini hisobga olmaydi. turli yoshdagi kichik guruhlarda va boshqalar.

Keling, ushbu muammoni CAS Maxima-da hal qilaylik.

Yechim uchun biz yana "dinamika" kutubxonasidan rk funktsiyasidan foydalanamiz, bu esa to'rtinchi aniqlik darajasidagi Runge-Kutta usuli yordamida Koshi muammosini hal qiladi.

Quyidagi grafikda dastlabki 20 kun davomida epidemiya rivojlanishidagi shaxslar sonining dinamikasi, guruhdagi dastlabki holatlar soni a = 100, kasallar bilan birga guruhning umumiy soni n = 20000, koeffitsientlar β = 0,0001, \gamma = 0,1, μ= 50,0, λ = 0,05. Bu erda koeffitsientlarning qiymatlari o'zboshimchalik bilan tanlanadi. Shunday qilib, masalan, λ bu erda aniqlik uchun \gamma-dan ikki baravar kam qabul qilinadi, bu juda oshirib yuborilgan va voqealarning haqiqiy manzarasini aks ettirmaydi.

Epidemiyaning dastlabki 20 kunida CAS Maximadagi shaxslar soni dinamikasi grafigi, a = 100, n = 19900
Qolgan grafiklar 300 kunlik vaqt oralig'ida hisoblab chiqilgan va guruhdagi sog'lom, kasal, o'lgan va tuzalgan shaxslar sonining dinamikasini ifodalaydi. "To'lqinlar" shaxslar sonining dinamikasida aniq ko'rinadi, bu guruhga yangi sezgir shaxslarning doimiy oqimi mavjud bo'lganda epidemiyaning tsiklik takrorlanishi mumkinligini ko'rsatadi. \gamma = 0,1 va μ= 50,0 uchun ikkinchi va keyingi "to'lqinlar" sezilarli darajada zaiflashgan shaklda keladi. \gamma koeffitsienti qiymatini va shunga mos ravishda tebranishlar amplitudasini sun'iy immunizatsiya qilish mumkin emas, yoki karantin choralari bilan kamaytirish mumkin, bu haqiqatdir. μkoeffitsientining qiymati karantin choralari va/yoki guruhga faqat tabiiy immunizatsiyaga ega (allaqachon tiklangan) shaxslarni qabul qilish orqali kamaytirilishi mumkin.

Epidemiya rivojlanishining 300 kunida sog'lom odamlar soni dinamikasi grafigi, a = 100, n = 19900

Epidemiya rivojlanishining 300 kunida kasallar soni dinamikasi grafigi, a = 100, n = 19900

O'lgan shaxslar soni dinamikasi grafigi, a = 100, n = 19900 epidemiya rivojlanishining 300 kuni uchun

Epidemiyaning 300 kunida tuzalib ketganlar soni dinamikasi grafigi, a = 100, n = 19900
Mavjud statistik ma'lumotlar asosida, ko'proq yoki kamroq aniq boshlang'ich shartlarga ega bo'lgan differentsial tenglamalarga kiritilgan koeffitsientlar qiymatlarini hisoblab chiqqandan so'ng, ko'rib chiqilayotgan modellarni ma'lum cheklovlar bilan epidemiyaning borishini sifat jihatidan aks ettiruvchi deb hisoblash mumkin. Bunday modellardan amalda foydalanish imkoniyati masalasi adekvat statistik gipotezalarni shakllantirishda hisoblangan va eksperimental egri chiziqlarni solishtirish orqali ularni tekshirishdan iborat bo‘lib, bizning fikrimizcha, statistik ma’lumotlarning to‘liq emasligi sababli hozirgi vaqtda bu qiyin.
Ushbu eslatma aslida faqat tasviriy xususiyatga ega va hozirda rivojlanayotgan COVID-19 koronavirus infeksiyasi pandemiyasida sog'lom, kasal, o'lgan va tuzalib ketgan shaxslar sonining dinamikasini hisoblash uchun foydalanilmaydi. U faqat ma'lum bir izolyatsiyalanmagan guruhdagi kasallikning epidemiyasi tabiatiga ma'lum omillarning ta'sirini ko'rsatish uchun mo'ljallangan.
Biz ko'rib chiqayotgan Beylining matematik modellari juda samarali va epidemik vaziyatdagi shaxslar soni dinamikasini o'rganish uchun vosita ekanligini ta'kidlamoqchimiz.
Epidemiyaning umumiy holatining matematik modelining harakat tenglamalari

t = 0 vaqtida boshlang'ich holati bilan, Ebola gemorragik isitma epidemiyasini tavsiflashda, masalan, hech bo'lmaganda bu erda ishlatilgan. Statistik ma'lumotlarga asoslanib, model koeffitsientlarining qiymatlari topildi.
Quyidagilar hisobga olinadi: vaktsinadan foydalanish boshlanishini hisobga olgan holda matematik model va haqiqiy ma'lumotlarga ko'ra bashorat qilingan epidemiya rivojlanish dinamikasi. Bu ish olib borilgan tadqiqotlar natijasida saqlanib qolgan hayotlarning sonini aniqlash imkonini berdi (Urakova K.A. va Xrapov P.V. G'arbiy Afrikada Ebola gemorragik isitmasi epidemiyasining rivojlanishini matematik modellashtirish).
Yoki boshqa mualliflar (Izhutkin V.S. va Semin P.N. Epidemiya tarqalishining matematik modellarini dasturiy ta'minlash) ushbu modellarni qo'llashning eng muhim sohasi prognozlash ekanligini ta'kidlaydilar. Epidemiya holatlarida bu ma'lum bir kasallikdan kelib chiqadigan xavfni baholash va zarur choralarni ko'rish imkonini beradi. Haqiqiy vaziyatni modellashtirishda prognozlash masalalarini hal qilishning ikki yo'li mavjud: 1) model parametrlarining koeffitsientlarini hisoblash, agar ular fizik ma'noga ega bo'lsa; 2) grafiklarni qurish va parametrlarni model ko'rib chiqilayotgan vaziyatga mos keladigan tarzda tanlash. Bunday matematik modellarni qo'llashning yana bir sohasi amaliy sohada mutaxassislarni tayyorlashdir, chunki vizualizatsiya turli parametrlardagi o'zgarishlarning aniq simulyatsiya qilingan vaziyatlarga qanday ta'sir qilishini dinamikada vizual ravishda ko'rsatishga imkon beradi.
Shuni ta'kidlash kerakki, nafaqat sog'lom, yuqtirgan shaxslar va virusni yo'qotmagan shaxslar sonini hisobga oladigan modellar, balki boshqa ko'plab omillarni (emlash, kasalxonaga yotqizish, kasallik belgilari va boshqalar) hisobga oladigan modellar. ) Ebolani tasvirlash taklif qilingan. , masalan, bu erda).
Biz bu erda SARS-CoV-2 virusi keltirib chiqaradigan COVID-19 kasalligi epidemiyasining matematik modeli sifatida to'rtta noma'lum bo'lgan birinchi tartibli oddiy differentsial tenglamalar tizimi uchun Koshi muammosini ko'rib chiqamiz.

dastlabki sharoitlarda .
va ushbu model parametrlarining koeffitsientlarini hisoblang.
Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, quyidagi β koeffitsientlari guruhdagi kasallanishni tavsiflaydi, \gamma guruhdagi shaxslarning kamayishini tavsiflaydi (immunizatsiya natijasida izolyatsiya qilingan, tiklangan va infektsiyaga qarshi immunitetga ega bo'lgan), μsezgirlarning doimiy oqimini tavsiflaydi. guruhni to'ldiruvchi shaxslar , λ guruhdagi infektsiyadan o'lim natijasida shaxslarning yo'qolishini tavsiflaydi.
Hozirgi model bir qator cheklovlarga ega. Shunday qilib, u inkubatsiya davrida virus tashuvchisi kasallikning o'tkir davriga qaraganda kamroq sezgir shaxslarni yuqtirishi mumkinligini hisobga olmaydi va turli kasalliklarda o'lim darajasining o'zgarishini hisobga olmaydi. yosh kichik guruhlari va boshqalar.
β koeffitsienti, infektsiya ehtimoli ga teng bo'ladi, bu erda q - kasallangan odam kasallik davrida yuqtirishi mumkin bo'lgan shaxslar soni (ko'payish indeksi), T - vaqt. kasallik, n - bir xil aralashgan shaxslar guruhi.
Koeffitsient - tiklanish tezligi.
μkoeffitsienti, yuqorida aytib o'tilganidek, guruhni to'ldiradigan sezgir shaxslarning doimiy oqimini tavsiflaydi.
λ koeffitsientini yuqtirgan shaxslar sonining barqaror ulushi sifatida olish mumkin.
Bizning kichik shaharchamizni (20 000 kishi) yana bir bor ko'rib chiqaylik, sezgir shaxslarning barqaror oqimi (50 kishi), kasal odamlarning dastlabki soni kichik (10 kishi), ya'ni. infektsiya tashqaridan kiritilgan. Kasallikning o'rtacha vaqti T = 30 kun. Koeffitsient λ = 0,025, indeks q = 3. Epidemiya rivojlanishi uchun vaqt davri 1200 kun.
Epidemiyaning butun rivojlanishi davomida koeffitsientlar doimiy bo'lib qoladi deb taxmin qilinadi, ya'ni. guruhga doimiy ravishda sezgir shaxslar oqimi mavjud, karantin choralari joriy etilmagan, o'lganlar soni kasallanganlar soniga nisbatan o'zgarishsiz qoladi va virus yuqumli (infektsion) bo'yicha mutatsiyaga uchramaydi.
Yechim uchun biz yana "dinamika" kutubxonasidan rk funktsiyasidan foydalanamiz, bu esa to'rtinchi aniqlik darajasidagi Runge-Kutta usuli yordamida Koshi muammosini hal qiladi.
Grafiklarni tuzish uchun barcha ro'yxatlarni shakllantirish va eritma grafiklarini qurish avvalgi eslatmada bo'lgani kabi tasvirlangan.

Sog'lom shaxslar soni dinamikasi grafigi, 1200 kun

Yuqtirilgan shaxslar soni dinamikasi grafigi, 1200 kun

Yuqtirilgan shaxslar soni dinamikasi grafigi, 120 kun

O'lgan shaxslar soni dinamikasi grafigi, 1200 kun
Shaxslar sonining dinamikasida uchta "to'lqin" ni aniq ko'rish mumkin, bu guruhga yangi sezgir shaxslarning doimiy oqimi mavjud bo'lganda epidemiyaning tsiklik takrorlanishi mumkinligini ko'rsatadi. Ikkinchi va uchinchi "to'lqinlar" sezilarli darajada zaiflashgan shaklda keladi, ammo baribir ikkinchi to'lqin juda muhim (2000 dan ortiq infektsiyalangan), birinchi to'lqin deyarli 10 000 ta yuqtirgan. Bu izolyatsiyalanmagan guruhning asl hajmining yarmi! Bundan tashqari, bu birinchi maksimal epidemiya boshlanishidan boshlab 110 kundan 122 kungacha bo'lgan davrga to'g'ri keladi. Uchinchi "to'lqin" dan keyin kasallanganlar soni ancha yuqori darajada barqarorlashadi.
Biz 20 000 kishilik kichik shaharchamizni o'rganishni davom ettirmoqdamiz, ular 50 kishidan iborat sezgir shaxslarning barqaror oqimi bilan kasallanganlarning dastlabki sonini 10 kishida qoldiramiz. Kasallikning o'rtacha vaqtini T = 30 kun va λ = 0,025 koeffitsientini qoldiramiz, lekin biz q indeksini 1,5 ga kamaytiramiz (karantin choralari natijasi). 1200 kunlik epidemiyaning rivojlanishi uchun bir xil vaqt davri quyidagi grafikda ko'rib chiqiladi.

Infektsiyalangan shaxslar soni dinamikasi grafigi, 1200 kun, q = 1,5, μ= 50
Birinchi to'lqinning maksimal darajasi epidemiyaning boshidan uzoqlashmoqda va deyarli 40% kamroq. Shunday qilib, q ni 1,5 ga kamaytirish cho'qqi qiymatlariga tayyorgarlik ko'rish uchun vaqt topishga imkon beradi va eng yuqori qiymatlarda yuqtirgan odamlar sonini kamaytiradi.
Keling, q = 1,5 ni qoldiramiz va sezgir shaxslarning barqaror oqimini yarmiga 25 kishiga kamaytiramiz (koeffitsient \mu). Keyingi grafik shuni ko'rsatadiki, birinchi "to'lqin" ning eng yuqori qiymatlari dastlabki holatga nisbatan 60% ga pasaymoqda, ikkinchi to'lqin oldingi grafikga nisbatan deyarli bir yil orqaga surilgan, uning cho'qqisi ham biroz pastroq. .

Infektsiyalangan shaxslar soni dinamikasi grafigi, 1200 kun, q = 1,5, μ= 25
Shuning uchun bu juda muhim: 1) guruhga sezgir shaxslarning kirib kelishini cheklash ("to'lqinlarni" olib tashlash uchun μkoeffitsientini nolga kamaytiring, bundan tashqari, bu birinchi cho'qqidan keyin yuqtirganlar sonini kamaytiradi. nolga); 2) karantin choralarini joriy qilish yoki hech bo'lmaganda ba'zi sezgir shaxslarni sun'iy immunizatsiya qilish (beta koeffitsientini kamaytirish); 3) o'limni kamaytirish uchun samarali dori vositalarini ishlab chiqish (λ koeffitsientini kamaytirish).

Kasalliklar soniga kelsak, shuni ta'kidlash kerakki, ko'p hollarda (80%) kasallikning engil va hatto asemptomatik kursi mavjud. Ushbu tashxis qo'yilgan 20% holatlarning taxminan 15% og'ir va kislorodli terapiyani talab qiladi, 5% esa juda muhim. O'lim darajasi ham taxminan 5% ni tashkil qiladi.

Shuning uchun, keling, natijalarni ko'rib chiqaylik, 100% kasal (yomon) dan atigi 20% COVID-19 (bed_diag) tashxisi qo'yilgan, ularning 15% kislorod terapiyasiga muhtoj bo'lgan og'ir shaklda. (bad_sers), 5% kritik holat (bad_critic). O'lim darajasi - 2,5% (o'lik_). Natijalar quyidagi grafiklarda keltirilgan.

Infektsiyalangan shaxslar soni dinamikasi grafigi, 300 kun, q = 3,0, μ= 50

Infektsiyalangan shaxslar soni dinamikasi grafigi, 300 kun, q = 3,0, μ= 50
Oxirgi grafik y o'qi bo'ylab logarifmik masshtabda joylashgan.

Infektsiyalanganlar soni bo'yicha logarifmik shkala bo'yicha infektsiyalangan shaxslar soni dinamikasi grafigi, 300 kun, q = 3,0, μ= 50
Shunday qilib, oxirgi uchta grafik tashxis qo'yilgan va tanqidiy holatlarni hisobga olgan holda ma'lum bir ajratilmagan guruhdagi (20 000 kishi, sezgir shaxslarning kunlik oqimi 50 kishi) yuqtirgan shaxslar soni dinamikasini hisoblash natijalarini ko'rsatadi. kasallik. Yuqtirilgan odamlarning maksimal soni epidemiya boshlangan kundan boshlab 110 kundan 122 kungacha bo'lgan davrga to'g'ri keladi, bunda kasallanganlar soni 10 kishi bo'lgan birinchi kunni hisobga olgan holda. Kislorod terapiyasiga bo'lgan ehtiyoj, ushbu eng yuqori kunlarda har kuni taxminan 280 kishi og'ir ahvolda ekanligi bilan belgilanadi! Bu davrda har kuni 90 dan 93 gacha odam og‘ir ahvolda. Infektsiyalanganlar sonining ko'payishi eksponent tarzda sodir bo'ladi, bu kasallanganlar sonining logarifmik shkalasidagi grafikda ko'rsatilgan.
Endi 100 ta tashxis qo'yilgan holatdan boshlab kun bo'yicha ro'yxatga olingan holatlarning umumiy sonining (yangi_xolatlar) grafigini logarifmik shkalada keltiramiz.

Logarifmik shkalada kasallangan shaxslar va yangi kasalliklar soni dinamikasi grafigi, 300 kun, q = 3,0, μ= 50
Oxirgi grafik shuni ko'rsatadiki, infektsiyalangan shaxslarning eksponensial o'sishi to'xtaydi va 116-kundan boshlab kasallanish pasaya boshlaydi.
Shunday qilib, ushbu eslatma ba'zi bir izolyatsiyalanmagan nisbatan kichik guruhdagi kasallikning epidemiyasi tabiatiga ba'zi omillarning ta'sirini ko'rsatadi. Bu erda ko'rib chiqilgan matematik modeldan karantin choralari mavjud bo'lmaganda sezgir, kasal, o'lgan va tuzalib ketgan shaxslar sonini birinchi taxminiy hisoblash uchun foydalanish mumkin.