Юқори тартибли дифференциал тенгламалар ҳақида асосий тушунчалар

Юқори тартибли дифференциал тенгламалар ҳақида асосий тушунчалар

Биринчи тартибдан юқори тартибга эга бўлган барча дифференциал тенг-ламалар юқори тартибли дифференциал тенгламалар дейилади. Умумий ҳолда n – тартибли дифференциал тенглама қуйидаги кўринишда ёзилади:

(18)
ёки агар мумкин бўлса, юқори ҳосилага нисбатан ечилган кўринишда бўлади:
(19)
Биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг умумий ечими битта ўзгармасга боғлиқ бўлар эди, n - тартибли дифференциал тенгламанинг умумий ечими эса n та ўзгармасга боғлиқ бўлади:
(20)
ва у n тартибли дифференциал тенгламанинг ечимлари тўпламини ташкил этади.
Умумий ечимдан бирорта хусусий ечимни олиш учун изланаётган функциянинг (ечимнинг) ва унинг тартибгача барча ҳосилаларининг мумкин бўлган нуқтадаги қийматлари берилиши лозим, яъни да
(21)
сонлар (бошланғич шартлар) берилади.
Тартиби n га тенг бўлган (19) тенгламанинг (21) бошланғич шартларни қаноатлантирувчи хусусий ечимини топиш Коши масаласи номи билан юрити-лади.
Умумий ечимнинг ошкормас кўринишини аниқловчи
(22)
тенглама (19) тенгламанинг умумий интеграли деб аталади.
Юқори тартибли дифференциал тенгламаларни биринчи тартибли дифференциал тенгламалар сиситемасига келтириш
Биринчи тартибли дифференциал тенгламалар системасини юқори тар-тибли битта дифференциал тенгламадан ёрдамчи функциялар киритиш йўли билан ҳосил қилиш мумкин. Ҳақиқатан ҳам
(23)
тенглама юқори ҳосилага нисбатан ечилган n – тартибли дифференциал тенглама бўлсин. Қуйидаги белгилашларни (функцияларни) киритамиз:
(24)
.
Натижада n – тартибли битта тенгламадан қуйидаги биринчи тартибли n та дифференциал тенгламаларнинг нормал системаси ҳосил бўлади:
(25)
Юқорида берилган бошланғич шартлар эса ((21) тенгликларга қаранг), (25) система учун қуйидагича ёзилади:
(26)
Масалан, бешинчи тартибли ўзгармас коэффицентли бир жинсли бўл-маган дифференциал тенглама учун Коши масаласи берилган бўлсин:
(27)
(28)
Қуйидаги функцияларни киритамиз:
(29)
Бу ерда ва эканлигини эътиборга олиб берилган масалани биринчи тартибли дифференциал тенгламаларнинг нормал системаси учун Коши масаласига келтирамиз ва у қуйидаги кўринишга эга бўлади:
(30)
(31)