Задача №1. Исследовать на сходимость ряд. Решение.,, следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится

Задача №8. Исследовать на сходимость ряд .
Решение.Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом .
Каждый член  данного ряда, начиная с , меньше соответствующего члена обобщенного гармонического ряда:
,
и поскольку ряд  сходится ( ), то согласно утверждению 1) признака сравнения исследуемый ряд также сходится.
Ответ: ряд сходится.
Задача №9. Исследовать на сходимость ряд .
Решение.Сделаем предположение о том, что данный ряд расходится. Тогда используем утверждение 2) признака сравнения и подбираем расходящийся ряд с меньшими членами:
, ,
Поскольку  для всех натуральных , то
.
Гармонический ряд  расходится, следовательно по признаку сравнения ряд также расходится.
Ответ: ряд расходится.
Задача №10. Исследовать ряд на сходимость .
Решение.Главная особенность использования признака сравнения состоит в том, что здесь, в отличие от других достаточных признаков сходимости, необходимо делать предположение о том, сходится ряд или расходится. Докажем сходимость данного ряда. Для этого докажем, что, начиная с некоторого номера , верно соотношение
.
Применяя правило Лопиталя (дифференцирование по  ) получим

значит, начиная с некоторого  , функция меньше для любого .
Положим  , тогда
, откуда имеем
.
, .
Обобщенный гармонический ряд  сходится ( ), следовательно, по признаку сравнения ряд с меньшими членами также сходится.
Ответ: ряд сходится.
Сформулируем еще один признак сравнения.
Теорема 2. (обобщенный признак сравнения рядов с положительными членами).
Пусть даны два ряда  и . Если предел отношения общих членов этих рядов существует, конечен и не равен нулю, то ряды одновременно сходятся или расходятся.