Задача №1. Исследовать на сходимость ряд. Решение.,, следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится

Задача №11.Исследовать на сходимость ряд .
Решение.Обсудим сначала, каким образом в этом случае подобрать гармонический ряд. Очевидно, что главными в числителе и в знаменателе являются слагаемые, содержащие старшие степени переменной , именно их и оставим при переходе к гармоническому ряду:
.
Обозначим  , .
Вычислим предел, который подтверждает, что ряды сходятся или расходятся одновременно:
.
Ряд  расходится как гармонический.
Следовательно, по обобщенному признаку сравнения исходный ряд также расходится.
Ответ: ряд расходится.
Задача №12. Исследовать на сходимость ряд .
Решение.Сравним данный ряд с рядом .
Докажем, что ряды ведут себя одинаково. Обозначим
, , тогда
.
Ряд  состоит из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и, следовательно, сходится. По обобщенному признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.
Ответ: ряд сходится.
Задача №13.Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом:
.
Обозначим  , .
Вычислим предел

Следовательно, ряды в смысле сходимости ведут себя одинаково.
Ряд  сходится, поскольку является обобщенным гармоническим, . Тогда по обобщенному признаку сравнения исходный ряд также сходится.
Ответ: ряд сходится.
Задача №14. Исследовать на сходимость ряд .
Решение.Подберем данному ряду обобщенный гармонический ряд так, чтобы ряды сходились или расходились одновременно:
.
Обозначим  , , тогда

Здесь использовалась формула
.
Обобщенный гармонический ряд  расходится, . Используя обобщенный признак сравнения, делаем вывод о том, что исходный ряд расходится.
Ответ:ряд расходится.