Задача Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром

4. Построение кривой в канонической и общей системе координат

Рис.1. Эллипс в общей системе координат:



Рис.2. Эллипс в канонической системе координат

5. Вывод для данной кривой

второго порядка после определения зависимости типа кривой от параметра с помощью инвариантов мы определили, что при данное уравнение - гипербола. После преобразования уравнения кривой при с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей, было получено каноническое уравнение эллипса. С помощью этого уравнения мы нашли фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты данной гиперболы.

6. Анализ поверхности второго порядка

1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:


(2.2)

где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнение (1.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка , а систему координат называют общей системой координат. Нам дано общее уравнение поверхности второго порядка

(2.1)

Приведём данное уравнение (2.1) к каноническому виду.

(2.2)

То есть получили уравнение эллиптического цилиндра в каноническом виде.

2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений

Данное каноническое уравнение поверхности (2.2) задает эллиптический цилиндр.

1. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:

(2.3)

Уравнение (2.3) - уравнение эллипса с центром в точке (0,0,0), мнимыми осями в точках и (см. рис 1).

2. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:

: (2.4)

Запишем уравнение (2.4) в виде:

: (2.5)

Уравнение (2.5) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число). При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.2):

(сечений нет)
(прямая)
(две параллельные прямые)

Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость имеют вид:

: (2.6)

Запишем уравнение (2.6) в виде:

: (2.7)

Уравнение (2.7) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число),

При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.3):

(сечений нет)

,
.

Построение сечений:

Рис.1. Эллипс (Z=const).



Рис.2. Семейство прямых (X=h (h=const)).



Рис.3. Семейство прямых (Y=h (h=const)).