Задача Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром

3. Исходные данные

Кривая:

(1.1)

4. Анализ кривой второго порядка

1. Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра с помощью инвариантов

Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением:

Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.

Найдем коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка (1.1):

Вычислим инварианты кривой (1.1) по формулам:

,
,

Далее, в зависимости от значений инвариантов, определим тип кривой (1.1) и рассмотрим по отдельности кривые различных типов, определяемые этим уравнением кривой второго порядка с параметром , пользуясь классификацией кривых второго порядка.

В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.
Кривая второго порядка Г называется центральной, если .
Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.
Классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:

1. 
   эллипс ;
   
2. 
   мнимый эллипс ;
   
3. 
   вырожденный эллипс ;
   
4. 
   две мнимые пересекающиеся прямые (точка) ;
   
5. 
   гипербола ;
   
6. 
   две пересекающиеся прямые ;
   
7. 
   парабола .
   

В соответствии с классификацией кривых второго порядка имеем:
1. Если , то есть , то уравнение (1.1) определяет кривую параболического типа. При этом I₃ = 0, следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет параболу.
кривая второй порядок поверхность
Если , то кривая второго порядка - центральная. Следовательно, при данная кривая (1.1) - центральная.
2. Если , то есть при данная кривая (1.1) определяет кривую эллиптического типа. При этом если ещё и , то есть если , то уравнение (1.1) определяет эллипс.
3. Для вырожденного эллипса 

4. Для мнимого эллипса :

5. Если и , то уравнение (1.1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

=> =>

Следовательно, двух пересекающихся прямых не существует для данного уравнения.

6. Если и , то уравнение (1.1) определяет две мнимые пересекающиеся прямые. Получим:


=>

Следовательно, если , то уравнение определяет две мнимые пересекающихся прямые (точку).

Если I₂ < 0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет кривую гиперболического типа.
7. Если и , то данная кривая - гипербола. Но при всех . Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу:

Значение параметра
Тип кривой	Мнимый эллипс	Вырожденный эллипс	Две мнимые пересекающиеся прямые (точка)	Эллипс	Парабола	Гипербола