Задача для уравнений четвертого порядка

International Journal of Education, Social Science & Humanities.
Finland Academic Research Science Publishers
ISSN: 2945-4492 (online) | (SJIF) = 7.502 Impact factor

Volume-11| Issue-5| 2023 Published: |22-05-2023|

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА СМЕШАННО-СОСТАВНОГО ТИПА

https://doi.org/10.5281/zenodo.7933867

К.С.Гозиев

кандидат физико-математических наук, доцент

Тургунбаева Комила Набижоновна

Магистр 2-курса ФерГУ

Аннотация.

в статье рассматривается уравнение четвѐртого порядка смешанно- составного типа в ограниченной области. Доказывается единственность решения поставленной задачи методом интегралов энергии. А существование решения, доказывается используя теорию интегральных уравнений.

Ключевые слова.

Функция Грина, уравнение Фредгольма, единственность решения.

Abstract.

The article considers the fourth-order equation of a mixed-compound type in a bounded domain. The uniqueness of the solution to the problem has been proved by the method of energy integrals. Moreover, the existence of the solution is shown using the theory of integral equations.

Одним из фундаментальных результатов теории краевых задач для уравнений смешанного типа был получен А.В. Бицадзе в 1958 году. Но впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание А.С. Чаплыгин ещѐ в 1902 году. В настоящее время теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из развивающихся разделов теории уравнений в частных производных. Опубликованы многочисленные теоретические исследования и монографии.

В данной статье рассматривается краевая задача для уравнения четвѐртого порядка смешанно-составного типа.
В области D рассмотрим уравнение

^ ²

^ x²
 _2
^{U  CU  0,}  ^{x, y} ^{ D1,}
(1)



^ x^{2
U  0,}  ^{x, y} ^{ D2,}

Volume-11| Issue-5| 2023 Published: |22-05-2023|
где D₁ – область ограниченная нормальным контуром

Г _(x, y):
x²  y²  y,
y  0_
и отрезком _А(0,0),
В(1,0)_ оси ^х . Через D₂

обозначим область ограниченную отрезком (АВ) и характеристиками

AC : x  y  0 и
BC : x  y 1 ^{уравнение} U_xx U_yy  0^{. Совокупность областей}

D₁и D₂ в месте открытом отрезком (АВ) обозначим через D .



U
_Г f₁(x, y) , (2)

 f₂
Г
(x, y) ^{, (3)}

₁(x) ^,
AC
^{0  x  1} , (4)

2

1

 ₃(x) ,
AC
^{0  x } , (5)

2

здесь n – внешняя нормаль к границе области D,
f_{i } x, y_
i 1,2_ ,  _{j } x_

_ j  1, 4_
– заданные функции, удовлетворяющие естественным условиям

согласования, обеспечивающим ниже требуемую гладкость решения.

Задача D . Требуется определить функцию U (x, y)
свойствами:
со следующими

1⁰. Она является регулярным решением уравнения (1) в области D при
y  0.

2⁰. Непрерывна в D вместе со своими частными производными до второго порядка включительно.

3⁰. Удовлетворяет краевым условиям (2) - (5).
4⁰. Функция U (x, y) и еѐ производные до второго порядка включительно
удовлетворяют на отрезке АВ непрерывным условиям склеивания.
Применим следующие обозначения
U (x,0)  U (x,0)  (x) ,
U_y (x,0)  U_y (x,0)  (x) ,
U_yy (x,0)  U_yy (x,0)  (x). (6)

Уравнение (1) в области
D₂ перепишем в виде

U_xx U_yy  x₂₁( y)  ₂₂ ( y) . (7) Общее решение уравнения (7) выражается формулой [3]

Volume-11| Issue-5| 2023 Published: |22-05-2023|
₁ x y x y <sub>


</sub>   _

 

_   _

U (x, y)  F (x  y)  (x  y) 

4

_ d
_{ }^21 

_{2 } 

₂ ^21 
_{2 } d ^.

0 1 ^
(8)

   _

Используя условия (4), (5) находим
x₂₁( y)  ₂₂ ( y)  a(x, y), (9) где



1
^a (x, y), если x  ¹ , y   ¹ ,



a(x, y)  ^{2 2}

1

^a ( y),
если x  ,

^{ 2} 2

a (x, y)  ^{2(x  y)} ( ^ ( y)  ^ (1  y)) 
2 ^ ( y) ,

¹ 1  2 y

2 2 2

a₂ (x, y)  2( ₂^ (1 y)) ₁^( y) . (10)
Правая часть уравнения (7) стала известной. В силу условия 4⁰ задачи D ,

при
у  0 из (7) имеем

 ^(x)  (x)  a(x,0).

Единственность решения задачи

Теорема 1. Если С_x (x, y)  0 то, задача D может иметь не более одного
решения.
Доказательство. Рассмотрим однородную задачу D , т.е.

f_i (x, y)  0,
 _j (x)  0,
i 1,2; j 1,3.
(11)

Пусть V (x, y)
некоторая функция из класса C¹ _D _  C² _D
_ тогда

1 2
справедливо равенство

V U  U V
_ H
x
_ K _,
y

где
H  (UV )_x  2V_xU, K  (UV )_y  2V_yU .

Интегрируя (12) в области
D₂ имеем

_(V U  U V )dxdy  2 _ V (U _x  U_y )dy  _ U (V_x  V_y )dx 

D₂ AC CB
(13)

 _ (V_yU  U_yV )dx 2U (C)V (C)  U ( A)V ( A)  U (B)V (B).
BA
В силу (11) из (7) следует что

Volume-11| Issue-5| 2023 Published: |22-05-2023|

Учитывая (6), полагая в (13)
V  U_x (x, y) U_y (x, y) ^{из уравнения (14)} получим

1
2 _ (U_x U_y )² dy  2 _ U (U_xx U_yy )dx  _( ^(x)  (x))² dx  0 ^{. (15)}
AC CB 0
^{Так как}  _j (x)  0 ^{то из (9) будем иметь}
U_xx  F ^(x  y)  ^(x  y) ,
U _yy  F ^(x  y)  ^(x  y) . В силу этого из (15) находим
 ^(x)  (x)  0 . (16)
Теперь преобразуя тождество

 _x
2
U ₂ (U _xx  U_yy )dxdy  0 ,
D₁
мы получим следующее равенство
_ xxx x x xx x yy x x x xy y xx xy x x
(UU )  (U U )  (UU )  (U U ) U ²  U ²  (CU ² )  (C U ²)dxdy  0 .
D
(17)

Известно, что

U_x  U_n cos(x, n)  U_s cos(x, s) ,
U_y  U_n cos( y,n) U_s cos( y, s) ,

Г
так как U
 0 , то
 0 .
Г

В силу этого из условия (3) следует что U_x  U_y  0 на Г . Интегрируя по частям равенство (17) имеем
_UU_xxxdy  _U_xU_xxdy _UU_yyxdy  _U_xU_xydx 
Г Г Г Г