Задача для уравнений четвертого порядка

 

xx xy x

• 
  CU ²dy 
  

Г D₁
(U ²  U ²  C U ² )dxdy 

• 
  _ (UU_xxxdy  _ U_xU_xxdy  _ UU_yyxdy  _ U_xU_xydx  _ CU dy  0 .
  

2


AB AB AB AB AB
Используя (11) из последнего равенства получим

Volume-11| Issue-5| 2023 Published: |22-05-2023|
1
_ x xy _ xx xy x
U U dx  (U ²  U ²  C U ² )dxdy . (18)
D D₁
Используя соотношение (16) вычислим первый интеграл

1
 ^ ^  ^ ^
1  ^{2  1}  ^2

 ^2

1
_ U_xU_xydx  _ dx  _ dx  _{2 }( ) dx  ₂ ( (1) 
(0))^.

AB AB 0 0
В силу условия  ^(0)   ^(1)  0 получим что,
_ U_xU_xydx  0 .
AB
Тогда из (18) получим
_ xx xy x
(U ²  U ²  C U ² )dxdy  0 . (19)
D
Если C_x  0 , то из (19) следует, что U  0 .

Если C_x  0 , то из (19) следует, что U
_x  U_y



 const , так как U C² (D )

1
имеем что U_x  U_y  0 в


D₁ . Легко показать, что решение задачи

U

Г
U_x  0,  0

является только тривиальным. Таким образом U  0 в D₁ . Тогда и

U (x,0)  0 . В силу этого из (16) следует что  (x)  0
на AB . В силу

единственности задачи Коши для уравнения (14) U (x, y)  0 в D₂ .

Следовательно U (x, y)  0


в D . Теорема доказана.

Существование решения

В области
D₁ рассмотрим следующие задачи

  CU , (23)



Г
 (x, y),
   ^(x),

AB
где
(24)

²V
x²
  . (25)

Известно, что, решение этой задачи даѐтся формулой
(x, y)  _ ^{G(x, y, ,)}(s)ds 
_Г 

Volume-11| Issue-5| 2023 Published: |22-05-2023|
1
_G_ (x, y, ,0) ^( )d  _G(x, y, ,)CU ( ,)dd ^{, (26)}

0

где G(x, y, ,) 

D


¹ ln ¹  g(x, y, ,) 2 r

– функция Грина,

r  (x   )²  ( y )²,
g(x, y, ,)
– регулярная часть функции Грина.

Из обозначения (25) получим следующие задачи

W_x  (x, y),W
_Г  U_{x Г} 
f₂ (x, y)x_ 
f₁^(x, y)x_s 
f₂₁(x, y) , (27)

1
здесь
Г  ^(x, y), x²  y²  ¹ , ¹  x  1^,




₁  _{4 2} 
 

U_x  W (x, y),
^{U  f1(x, y)} . (28)

Г
1

Решая задачу (27) имеем
W (x, y)  ¹ _^(s)ln((x   (s))²  ( y (s)² )(s)ds 
 _Г
^x  
_ g₁ (x, y, (s),(s))(s)ds  _{ }C( ,)G(t, y, ,)U ( ,)dd)_dt 

Г




x 1
 _{ }G_ (t, y, ;0)
 ( y ) ^_ D₁



^( )d _dt 
_
f₂₂ (( y), y) , (29)

 ( y )  0

где
y

g₁(x, y, (s),(s)) 

 ( y)
g_ (x,t, (s),(s))dt  g₀ (x,t, (s),(s)) .

Устремляя точку (x, y) к точке ( (s₀ ),(s₀ ))  Г₂ из (29) получим

 _s_  ¹ K (s , s) (s) 

K (s , s, ,)U ( ,)d d  F (s s) , (29.1)

1 _{ } 0 1 _ 3 0 4 0
Г D
здесь
_{1 }s_ ^_s_ _s_,


^F ^{s , s} ^{ 2}


F '(s₀ ) _{ds ,}

4 0 _
Г
s₀  s

3 0 _
^К ^{s , s, ,}  ^{ C( ,) 1}
s  s
 ( s₀ )



^{G(t,(s0 ), ,)dtds} ,

Г ⁰  ( ( s₀ )

А также из (29) при
y  0 получим

Volume-11| Issue-5| 2023 Published: |22-05-2023|
W (x,0)  _^(s) ln ^_(x   )²  (0 )^{2 }_(s) 
Г

_ g(x,0, (s),(s))(s) 
x 1


_{ }G_ (t,0, ,0)

^( )d _dt 

Г  (0)  0 

 
x
 _{ }С( ,)G(t,0, ,)Udd _dt 
f₂₂ ((0),0) . (30)

 (0)  
Так как W (x, y)  U_x то W (x,0)   ^(x) .

Теперь в (30) интеграл содержащий  ^(x)
перепишем в следующим виде

x _ 1
J  G
x 1


(t,0,  ^  
  ^  

1 _ ^_ 
,0) ( )d _dt  _ dt _G_ (t,0, ,0) ( )d 

 (0)  0
x _ 
  (0) 0


1
 1 ^

 _ dt _ (x)G_ (t,0, ,0) ₀  _G_ (t,0, ,) ( )d _ .
 (0)  0 

В силу
 ^(0)   ^(1)  0 из последнего выражении получим

x _ 1  _

J₁ 
_ dt _G_ (t,0, ,0) ( )d _ .

 (0)  0 
Таким образом, получаем интегральные уравнение относительно  ^(x) в
виде

1 _ x
 ^
 _  ^x

(x)  _{  } G_ (t,0, ,0)dt _ ( )d  _{  }
G(t,0, ,)CUdd 

0 ^_ (0) _^ D ^_ (0)
 (^(s) ln(x   )  g(x,0, (s),(s))^(s)ds  F (x) , (31)
_ ^ 1
Г 
1 _ 21

где
F (x) 
^(s) ln(x   )²  (0 )² )  g(x,0, (s),(s))(s)ds  f
Г
Рассмотрим следующие выражение
((0),0) .

x



 (0)
G_ (t, y, ,)dt ^(s) ln(x   )  g₂ (x, y, ,) .

Дифференцируя последние выражения по  получим

^G
(x,0, ,0)  ^(s)
1
x  
 g_2
^{(x,0, ,0)} .

Теперь исследуем следующий интеграл

Volume-11| Issue-5| 2023 Published: |22-05-2023|
x x x



 (0)
G_ (t, y, ,)dt 

 (0)
ln((t   )²  ( y )²) 

 (0)
g₂(t, y, ,)dt 

 ^{y } ln((x   )²  ( y )²)  g
2 ²
(x, y, ,) .

При
y  0 ^и   0 ^{этот интеграл не имеет особенностей.}
Решая задачу (28) получим

U (x, y) 
x



₂ ( y )
W (t, y)dt 
f₁(( y), y). (32)

Подставляя (29) в (32) имеем

x
U (x, y)  ¹


^{ }  ²
 ^{2 }
  


 

 ( y ) Г
(s) ln _(x 
)  ( y 
) _  g(x, y, (s), (s)) (s)d (s) 

x t 1 x t

 _
₂ ( y )
dt _{ }G_ (t₁, y, ,0) ^( )ddt₁ 
₁( y ) 0

₂ ( y )
dt _{ }G_ (t₁, y, ,)C( ,)U ( ,)dddt₁ 
₁( y ) D₁

x
 _
₂ ( y )
f₂₁(( y, y))dt 
f₁(( y), y) . (33)

Вводя в (33) некоторые обозначения, получим
U (x, y)  _ K₁(x, y, ,)U ( ,)dd  _ K₂ (x, y, (s),(s))(s)ds 
D Г
1
_ K₃ (x, ) ^( )d  F₃ (x, y) ^{, (34)}
0

F₃(x, y) 
x



₂ ( y )
здесь


f₂₁(( y), y)dt 


f₁(( y), y) ,

K₁(x, y, ,) 
x _ t
_ dt _{ }

G(t, y, ,)dt_{1 } C( ,) ,

₂ ( y ) ^_₁( y ) ^_
x

K₂ (x, y, (s),(s)) 
_ ^(s) ln((t   )²  ( y )² )  g(t, y, (s),(s))dt ,

₂ ( y )


K₃(x, ) 


x



₂ ( y )


^_G_ (t,0, ,0)^_dt .

Volume-11| Issue-5| 2023 Published: |22-05-2023|
Решая интегральные уравнения (34), (31) и (29,1) находим решение

задачи в области
D₁ а в области
D₂ находим по следующий формуле.

 (x  y)   (x  y) 1 ^xy
₁ x y
₁ x y

U (x, y) 
₂  _{2 }  (t)dt  _{2 } P_y (t,0)dt  _{2 } P_y (t,0)dt 

x y 0 0
^{ 1 P(x  y,0)  1 P(x  y,0)  P(x, y)} ,

2 2

где функция  (x) найдена из решения уравнения (34).

ЛИТЕРАТУРА:

1. 
   Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: Фан. 1974.
   
2. 
   Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. –736 с.
   
3. 
   Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений парабола-гиперболического типа. Ташкент: Фан. 1986. –220 с.
   

Publishing centre of Finland