Задача оптимизации в конструировании

5. Метод наискорейшего спуска
Метод представляет собой сочетание методов градиента и Гаусса-Зейделя. Направление движения из очередной точки берется по антиградиенту, а поворот осуществляется в точке, в которой достигается минимальное значение функции (частный экстремум).
Как правило, метод наискорейшего спуска требует вычисления градиента в меньшем количестве точек, чем градиентные методы с постоянным шагом или с шагом, пропорциональным модулю градиента F. Следует отметить, что этот метод предполагает регулярное проведение статистического анализа промежуточных результатов на пути к экстремуму.
После определения градиента в точке х^h, производится движение по антиградиенту вдоль прямой
х^h+1 = х^h – l F(х^h)
до точки, в которой достигается минимальное значение функции;
l – расстояние от точки h до точки h+1.
Направление F(х^h) является касательным к линии (поверхности) уровня в точке х^h+1.
Затем в этой точке снова определяется градиент Движение совершается по прямой согласно нового антиградиента и т.д., пока не будет достигнута точка, соответствующая наименьшему значению функции или не будет пересечена граница допустимой области. Точка минимального значения функции вдоль очередной прямой определяется одним из однопараметрических методов оптимизации.
Более просто находится экстремум, если целевая функция задана в явном виде. Для нахождения очередной точки поворота х^h+1 записываются ее координаты

Координаты предыдущей точки h и составляющие градиента в этой точке известны. Выражения для подставляются в формулу целевой функции. Теперь эта функция будет зависеть от единственной переменной l, так как движение происходит по уже выбранной прямой F(l). Экстремум функции по этому направлению и есть экстремум F(l) среди всех положительных l. Находим

Отсюда определяем l_макс. Координаты точки поворота будут
и т.д.
Если функция не дифференцируемая, то составляющие градиента определяются путем 2п пробных шагов возле очередной точки поворота.

y₁ < y₂ < … < y₅
На рис. 4.30 представлен поиск экстремума методом наискорейшего спуска.

Рисунок 4.30.