Задача со свободной границей для квазилинейного уравнения реакции-диффузии, возникающих в экологии

ЗАДАЧА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ЭКОЛОГИИ
А.К.Норов.

1 Введение

В области математической экологии взаимодействующих популяций широко используются модели на полулинейных уравнениях типа реакция-диффузия. В данной предметной области накоплен положительный опыт использования подобных моделей. Полулинейные системы уравнений в частных производных находят применение и при моделировании биологических процессов, в частности, внутри клетки, если размеры клетки достаточно велики по сравнению с характерными реакционно-диффузионными размерами [3, 17], [19]- [21]. Проблемы со свободной границей имеют долгую историю, большая часть из которых возникла из физических процессов и техники [2, 4], [9]-[11], [18]. В последнее время с ростом исследований в области математической биологии и экологии возникает все больше проблем со свободными границами [1, 5, 16]. Подобные проблемы возникают в результате сложных процессов, представляющих собой аномальный рост или сокращение живых компонентов.

Распространение инвазивных или новых видов — одна из важнейших тем математической экологии. Многие математики приложили усилия для разработки различных моделей вторжения и исследовали их с точки зрения математической экологии. Недавно Ду и Лин [7] предложили новую математическую модель для понимания распространения инвазивных или новых видов. Их модель сформулирована как задача со свободной границей для уравнения реакции-диффузии:
(1)
представляет плотность новых видов, а свободная граница — это фронт распространения видов, коэффициент представляет собой внутреннюю скорость роста, измеряет внутривидовую конкуренцию и является скоростью диффузии.
В этой модели были получены следующие важные математические результаты:
Задача (1) имеет единственное глобальное решение;

дихотомия распространения-исчезновения: если , то либо и или и .

С тех пор были проведены обширные исследования различных типов реакционно-диффузионных моделей со свободной границей [8,12,13], [22]-[27].
В данной работе мы рассматриваем следующее квазилинейное уравнение реакции-диффузии со свободной границей
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
где – член адвекции, , , , – заданные положительные константы. Начальная функция удовлетворяет
in (7)

На протяжении всей статьи мы предполагаем, что

I. ,
II. для любого
Задача (2)-(6) изучалась в [27] для коэффициента смены знака.