Задача со свободной границей для квазилинейного уравнения реакции-диффузии, возникающих в экологии

2 Глобальное существование и единственность решения

Прежде всего установим некоторые априорные оценки типа Шаудера, которые будут использованы при доказательстве единственности и существования решения задачи. Наши методы основаны на принципе максимума, принципе сравнения и построении подходящих верхних и нижних решений задачи (2)-(6).

Нам понадобится следующая оценка.
Teorema 2.1. Пусть – решение задачи (2)–(6). Тогда существуют положительные константы , независимо от которых выполнены оценки
(8)
(9)
верны.
Доказательство. Сильный принцип максимума дает это для .
Чтобы получить верхние оценки, поступим следующим образом. Построим вспомогательную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения:
(10)
Ее решение дается следующей явной формулой [23]:
(11)
где , . Сравнивая с доходностью,
Далее, учитывая условие (6) и положительность функции в области определения , находим . Следовательно, из (7) получаем .
Для получения верхней оценки построим вспомогательную функцию следующим образом:
(12)
где – соответствующая положительная константа, удовлетворяющая (7). Мы докажем это для подходящего . По прямому расчету,

Затем мы обнаруживаем, что

Если , то, применяя принцип максимума еще раз, получаем

Тогда, учитывая и лемму Хопфа о граничной точке [2], имеем

Последнее неравенство в сочетании с (6) дает и доказательство завершено.
Первоначальные оценки получены. Теперь, используя результаты работы [14], установим априорные оценки для и высших производных.
Сначала мы получаем априорные оценки для . Из-за граничных условий (4)-(6) мы не можем использовать результаты работы [14]. Поэтому введем следующее преобразование

выпрямить свободную границу. Тогда область определения преобразуется в область определения , а ограниченная функция является решением задачи
(13)
(14)
(15)
где , , ,


Teorema 2.2. Пусть и предположим, что , непрерывны по и удовлетворяют (2) вместе с (3)-(6). Затем
(16)

имеются слабые вторые производные, то существует такое, что

(17)

Кроме того, предположим, что условие (2) в непрерывно со своими производными , , и .

Затем
(18)
Teorema 2.3. В условиях теорем 2 и 2 существует решение , задачи (2)-(6).

Для доказательства единственности решения воспользуемся идеями работ [22, 23].

Выведем интегральное представление, эквивалентное (2). Для этого перепишем (2) в виде
(19)
где
Интегрируя уравнение (19) по области, находим

Тогда мы получим
(20)


Teorema 2.4. В условиях теорем 2 и 2 задача (2)–(6) имеет единственное решение.