Задача со свободной границей для систем параболических уравнений типа реакция диффузия

Задача со свободной границей для систем параболических уравнений типа реакция – диффузия
Расулов М.С., Норов А.
Институт математики АН РУз, Узбекистан, Ташкент
[e-mail]

Большинство практических или реальных задач реакции-диффузии включают два взаимодействующих компонента. Типичной моделью является следующая система соревнований типа Лотка-Вольтерра для двух компонентов

где , плотности популяции в момент времени в точке ; коэффициент диффузии, коэффициенты удельной скорости роста популяций, и коэффициенты межвидовой конкуренции, и коэффициенты внутривидовой конкуренции.
В данной статье мы рассматриваем задачу со свободной границей для системы параболических уравнений типа реакция-диффузия, описывающих модель популяционной динамики в биологии.
Задача со свободной границей для системы реакция-диффузия была впервые введена З. Лином [26], где изучалась модель жертва-хищник и приводились результаты ее существования. Другие исследования моделей реакции-диффузии со свободной границей можно найти в [21, 22, 23,24,25,27] и цитированных там ссылках.
В работе рассматривается задача со свободной границей для системы параболических уравнений типа реакция-диффузия, описывающих модель динамики популяции в биологии(см. [1], [2]).
Постановка задачи. Требуется найти функции , удовлетворяющие условиям
















где ; , плотности популяции в момент времени в точке ; – свободная (неизвестная) граница, которая представляет фронт распространения, определяется вместе с функциями , ; коэффициент диффузии, коэффициенты удельной скорости роста популяций, и коэффициенты межвидовой конкуренции, и коэффициенты внутривидовой конкуренции, , начальные плотности популяции находятся в области .
Относительно данных задачи предполагаются выполненными следующие условия:
, , , , , , положительные постоянные, ;
;
в ,
, , , .
Задача (1)-(6) исследована в работах [1, 13] при , . А в [13,14] рассмотрена задача со свободной границей для систем реакции-диффузии с линейным членом конвекции.
В работы, доказаны теоремы существование и единственности решении задачи (1)-(6).