Задача со свободной границей для систем параболических уравнений типа реакция диффузия

Существование решения.
С помощью теоремы Лерэ-Шаудера о неподвижных точек мы можем теперь докажем следующую теорему существования [16, 17].
Теорема 6. Пусть выполнены условия теорем 2 и 4. Тогда существует решение , , задачи (1)-(6).
Доказательство. Для доказательства разрешимости нелинейной задачи можно использовать различные теоремы из теории нелинейных уравнений, помня, что для нее имеет место теорема единственности классического решения. Мы применим принцип Лерэ-Шаудера [?], установленные априорные оценки для всех возможных решений нелинейных задач и теоремы разрешимости в классах Гельдера для линейных задач. При этом теоремы существования для систем так же, как теорема для случая одного уравнения, так как каждое из уравнений можно рассматривать как линейное уравнение относительно и с непрерывными по Гельдеру коэффициентами.
Задача (1)-(6) рассматривается одновременно с однопараметрическим семейством задач того же типа. Линейная задача определяет преобразование , к которому и применяется принцип Лерэ-Шаудера. Этот оператор нелинеен и зависит от . Его неподвижные точки при являются решениями задачи.
Обозначим через , банахово пространство функций , на с нормой , которые удовлетворяют соответствующим начальным и краевым условиям задачи (14) и (15).
Для каждой функции и любого числа обозначим через , решения линейных задач (14) и (15), решения которых существует и единственно, причем , . При этом в области , как и в лемме 1, осуществляется переход к параболическому уравнению с непрерывными по Гельдеру коэффициентами в фиксированной области.
Равномерная непрерывность и вполне непрерывность оператора преобразования относительно , равномерные по оценки для решений и разрешимость линейных задач следует из установленных априорных оценов норм Гельдера. Техника доказательства подробно продемонстрирована, например, в работах (гл.VII,[?]; гл.VI, [?]).
Этим и завершается доказательство теоремы.