Задача со свободной границей для систем параболических уравнений типа реакция диффузия

Априорные оценки.
В этом разделе установим некоторые априорные оценки шаудеровского типа, которые будут использованы при доказательстве глобальной разрешимости задачи. При этом широко применяются принцип максимума и теоремы сравнений [1, 12, 17].
Прежде всего установим ограниченность функции , , . Далее устанавливаются априорные оценки для старших производных.
Теорема 1. Если функции – являются решением задачи (1)-(6), то справедливы оценки







где , .
Доказательство. Сначала докажем положительность функции . Возьмем некоторую произвольную точку такую, что . В этой точке правая часть (1) должна быть равна нулю. А также в этой точке функция достигает своего минимальная значения. Отсюда по обычный принципу максимума для всех и получаем противоречие относительно условия . Полученное противоречие доказывает, что в .
Доказательство положительности аналогично.
Чтобы оценить сверху функций , применяем теорему 1 в области . Так как положительность функций , доказаны, то




и




т.е. условие теоремы выполняется. Следовательно справедливы оценки (8), (9).
Далее в силу положительности и в и граница условий на неизвестной границе имеем

Тогда из (6) находим .
Для того, чтобы установить верхнюю оценку для , в задаче (1)-(5) произведя замену




получим задачи для и

Если выберем , , то по принципу максимума имеем

Отсюда




Следовательно,



Таким образом, по условию (6) установлена оценка (10).
Теорема 1 доказана.
Граничных условиях задачи (1)-(6) не позволяет, что использовать известней результаты работы [15]. Поэтому во-первых введем преобразование, чтобы выпрямить свободную границу

Тогда области соответствует область , а ограниченная функции , являются решением задачи

где




Далее для каждого уравнения системы отдельно сформулируем соответствующую задачу:




где
Теперь, используя результаты работы [15], получим оценки типа Гельдера для систем уравнений. Здесь и далее в отношении функциональных пространств и обозначения норм в них будем следовать обозначениям работы [15].
Введем обозначения