Задача со свободной границей для систем параболических уравнений типа реакция диффузия

Единственность решения.
Сначала получим новое представление для свободной границы, эквивалентное уравнению задачи (1)-(6). Интегрируя уравнение (1) из задачи по области и используя (2)-(6), мы находим






Для простоты рассмотрена в (31), случай , .
Теорема 5. При выполнении условий теоремы 1 решение задачи (1)-(6) единственно.
Доказательство. Теорема доказывается сначала для малого , а затем устанавливается, что она справедлива для любого . Пусть функции и являются решениями задачи (1)-(6) и пусть . Для каждой группы решений справедливо представление (31).
Рассматривая разность, находим










где – решения между и , т.е

В силу теоремы 1 имеем







Для разности , получаются задачи

где , , , .
Из задачи (33) по принципу максимума находим




Mehroj Aka, [31.10.2022 12:32] Теперь оценим составляющие формулы (32):

























Пусть . Тогда и имеем




Далее разделим (36) на и получим






Теперь для функции из (34) и (35) имеем

или

где
Используя (38) для имеем

Оценим интегральных члены




Рассмотрим вспомогательную задачу

Отсюда по принципу максимума




Введем функции




Находим



Отсюда по принципу максимума

Так как , то

Следовательно,

Так как правая часть (37) стремится к нулю при , то (37) не имеет места для достаточно малых и мы придем к противоречию. Следовательно, и далее , , .
Mehroj Aka, [31.10.2022 12:32] Единственность решения задачи для любого устанавливается следующим образом.
Пусть . Если , то вопрос будет решен. В противном случае, предполагая, что параметр ограничен и, повторяя выше выполненные выкладки в промежутке , снова придем к противоречию.
Теорема 5 доказана.