Задача со свободной границей для систем параболических уравнений типа реакция диффузия

Теорема 2. Пусть функция непрерывна в вместе с и удовлетворяет условиям задачи (14) в . А также, предположим, что . Тогда

Если , то для

где , – параболическая граница.
Доказательство. Так как установлены оценки , , , соответственно получается ограниченности функции и , то в силу теоремы 1 работы [15] справедливы внутренние оценка (16).
Переходим теперь к доказательству (17). Для этих при помощи замены в задаче (14)

граничных условии сводится к однородному случаю. Тогда задачу (14) можно переписать в виде







где
Коэффициенты уравнения задачи (18)-(20) ограничены по теоремы 1.
Сначала покажем оценка вплоть до правую граница для функцию . Обозначим через , ; продолжим функцию на по формуле:

Новая функция в непрерывны вмести с производной и всюду, кроме точек прямой , удовлетворяет задачи вида (18)-(20) для которого










При этом свойства коэффициентов задачи (21)-(24) не меняются. Воспользовавшись опять той же схему теоремы 1 в работы [15], находим

Следовательно,

Аналогичным путем устанавливаются оценки типа (25) и в области .
В области замена имеет вид

Оценки в области , , дают общую оценку в замкнутой области .
Теорема 2 полностью доказана.
Теорема 3. Пусть непрерывная в функция удовлетворяет условиям задачи (14). Предположим, что непрерывные функции , для , , и произвольных удовлетворяют условиям

Кроме того, если в области то

И если еще известно, что обладает в суммируемыми с квадратом обобщенными производными , , то

где , .
Если , то оценки (26)-(27) справедливы и в .
Доказательство этой теоремы, так же как и теорем 3, 4 в работы [15]. Потому что нами есть информации о ограниченности коэффициентах задачи (14) и .
Оценки старших производных

устанавливаются при помощи результатов для линейных уравнений, [15-17].
Теорема 4. Пусть коэффициенты уравнения

удовлетворяют условиям Гельдера

Пусть есть решения уравнения (29) с , и . Тогда

Заметим, что рассуждая так же, как и выше при оценках (8)-(10), рассматривая , получим оценки типа (17), (27), (30).